半模的張量積.pdf

1、內(nèi)容提要本文提出 了積的一些性質(zhì)。半模的正合列及平 的概念， 研究 了 半模的張量 、 腸 . . . . - 、 . -一一本文分為四部分， 第一部分主要證明了 半模 MR 與 R N 的張量積的存在一② 在 同 構(gòu) 意 義 下 唯 一 ; 第 二 部 分 研 究 了 張 量 函 越B ② 一 ) ( 或 性質(zhì)， 證明了它們均保持右正合性; 第三部分研究了經(jīng)典商半環(huán)的 一些性質(zhì)， 給出了 半環(huán)R有左分式半環(huán)的一 個(gè)充要條件; 第四部分

2、， 討論了 ， 個(gè)半環(huán)R關(guān)于它的 一個(gè)不含零元的么 半群S的局部化半環(huán)的張量性質(zhì)。Ab s t r a c tI n t h i s p a p e r , W e d e f i n e d t h e e x a c t s e q u e n c e o f s e m i m o d u l e s a n ds e m i m o d u l e , s t u d i e d s o me p r

3、o p e r t i e s o f t e n s o r p r o d u c t o f s e m i m o d -i s u n i q u. i s o m or-J U山，’ te ‘巴 ﹂t h e p a p e r i s s e p a r a t e d i n t o f o u r p a r t s . F i r s t l y ,t e n c e o f t e n

4、 s o r p r o d u c t o f s e m i m o d u l e s MR a n d R N , i twe p r o v h e e x i s -p h i s m . 召 g o, W e s t u d i e d s o m e p r o p e r t i e s o f t e n s o r f u n c t o r ( B ⑧一 ) ( o r一 ②B

5、 ) ， p r o v e d t h a t t h e y p r e s e r v e : r i g h t e x a c t n e s s ; T h i r d l y , w e s t u d -i e d s o m e p r o p e r t i e s o f c l a s s i c a l q u o i e n t s e m i r i n g , a n d

6、g o t a n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s u c h t h a t R h a i j a l e f t q u o i e n t s e m i r i n g ; I n t h e l a s t ,w e d i s c u s s e d s o m e t e n s o r p r

7、 o p e r t i e s o f l o c a l s e m i r i n g o f R a b o u t am o n o i d S n o t c o n t a i n i n g z e r o e l e m e n t .其t i t ， ， ， ， ， ， ， ， ， m 2 E M, ， ， ， ， ， . ， 1 2 E N, r E R -顯 然 ， 定 義4 '

8、 : R x R - -R, 州r i , r 2 ) = r i ·r 2 。 為 半 環(huán) 的 乘 法 ， 則l p 是 R -平 衡 的 :定 義 。 d設(shè)7 ' 為 左 淤半 模 ， ， : 呱x 產(chǎn)-“ T 為 R - 平 衡 映 射 ， 二 元 ( T , a ) 稱 為 M ; 與 瀏 的 張 量 積 ， 如 果 劉 任 意 的 左月 匕 半 模n和 任 意 的 R 一 平 衡 映 射口 : M, N

9、一A， 存在 唯 的口一 同 態(tài)戶T - - - - A , 滿 足I 0 t = / l ， 即0 n a x N 乃} 7 火 ~ 尸杏 31 J了 ·i 己1一 A R 今 瀏 , I ( n O n , n ) = m ⑧n ， 稱 ， 為Mx N- - “ M0R N的 張貝 映射命題 1 ， 設(shè)R是一個(gè) 半環(huán)， M R ' 瀏 分別 是右R 一半模與 左 R -半模， 則M R 與 瀏 的張量

10、積存在， 1 1 在同構(gòu)意義 下唯一。證 若M R F I R N的 張量積存在 ， 郵 長(zhǎng) 量積的定義， 唯一性是顯 然的， 因 此我們 僅i i E 明它的存在性。設(shè)K為 山 卡 氏 積 MX N生 成 的 自 由 產(chǎn)- 半 模 ， w : Mx N - - - - K 為 內(nèi) 射 。 令P 為 以 下 形式的有序元素對(duì)組成的集合:( i X ( 二 ， ( 。 : + a , i ) , a 2 ) ， 二 ( a t

11、, a 2 ) + w ( a 'a 2 ) b( i i ) ( u } ( n i , ( a 2 + a ' 2 ) ) , w ( a 1 , a 2 ) + 二( a t , a ' 2 ) ) i( i i i ) ( t u ( a i r , a 2 ) , w ( a i , r a 2 ) ) i( I V ) ( w ( O M , n ) , O K ) i( V ) (

12、u , ( m . O N ) , O K ) i 其 ‘ j a a i , a ' I E M, a 2 , a ' 2 E N , r E R 。 令S 是K上包 含P 的 最小同 余 ， T = K 份， 設(shè)u : K 一卡 了 ， 是自 然同 態(tài)， 易證t = u ^ w: M x N-- - “ T是R 一平衡映射。現(xiàn)證( T , t ) 為A ‘ 與 瀏的張餓積。設(shè)g : A ? } N - - &#

13、39; C : 為 R 一 平 衡映 射 ， 其 中C 為 任 意 一 個(gè)謬 半 模 。 由自 由 戶- 半 模K 的 泛 性 ， 存 在 唯 ， 的洲 一 同 態(tài)f : K - - - C 仗 得 g = f 0 w ， 因 為g 是R 一 平 衡 的 且P 9 8 ， 易 知 k e i f ; g K上 包含 P 的 同 余 ， 由 于a 是 K上 包含 P 的 最 小 同 余 ， 因 而S C k e r f =

14、I ( x , y ) E K x 川八 ”一 八 川 ， 所 以 存 在 唯 一 的 產(chǎn) - 同 態(tài)h : T - - - - C ， 使 得J ' = h 0 u ， 因 而9 = 戶w 一 h 0 u 0 w= h ^ t } I N 為K是由 Mx N生 成的自 由產(chǎn) - 半 模 ， u 為自 然 滿態(tài) . 故 ( u 。 二 ) ( MY N ) 二 t ( Mx 陰生 成. T 。 并 且 ， 若h

15、' : T 一 . - - c 是 任 意 一 個(gè)牟 同 態(tài) ， 使 得g = h ' t ， 必 有h = h ' 。 因此門’ ， t ) 是M R S R N的 張 I積 。注: 關(guān) 于 半 模的 張 童 積 ， 1 1 I P 1 6 8 給出了 一 個(gè)在 特 殊 意 義 下的 定義 ， ( 1 」 中 命題( 1 4 . 1 4 ) 給出r 這種 張量 積 在特殊條件下的泛 性。 如果記〔 1 ]

16、中 張盈 積為MOR N ， 則有如下命 題1 . 6 給 出 半 棋場(chǎng) 與 R N . 則 存 在 唯 一 的棄 一 同 態(tài)J ' : M O R N - M ( 2 ) R N ， 以 及 存 在 唯 一 的 牛 同 態(tài) . 廠: M O R N 一 一 - M O R N 使 得 f ( n t O n ) 一 7 1 0 + n , 一f “ ( ? n 0 ' 1 7 ) 一 ( 1 7 1 on

17、) ( / ) 1 0 1 . ， ， ， E M . ， ， 〔 N . 特 別 地 ， 當(dāng)M R 與 R N均 為 環(huán) 上 模 時(shí) ， 有M O R N ` = ? M OR N ，命頤 .N) 。爭(zhēng) 乍 目，MO R N的 每個(gè)元 素能 表成以 下 形式的 有限和 E( ” ， ⑧， : 、 ) ( ” J ， 〔 M ”〔， ， ， , 1 1 2 1 , r ) 1 2 E M, 。 ， 。 ， ， r t 2 E N