數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文----行列式的計算

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題目（中文）： 行列式的計算 </p><p>　?。ㄓ⑽模篢he Calculation of Determinant </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要

2、I</b></p><p><b>　　關鍵詞I</b></p><p>　　AbstractI</p><p>　　Key wordsI</p><p><b>　　1前言1</b></p><p>　　2行列式的定義及其性質2</p>

3、<p>　　3針對各種行列式的一般結構特點歸納出常用的計算方法9</p><p><b>　　3.19</b></p><p><b>　　3.211</b></p><p><b>　　3.316</b></p><p><b>　　3.418&

4、lt;/b></p><p><b>　　3.521</b></p><p><b>　　3.623</b></p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p><p&

5、gt;<b>　　附 錄</b></p><p><b>　　行列式的計算</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　行列式是解決線性代數(shù)的工具，它的產生和最早的應用都是在解線性方程組中，現(xiàn)在的應用范圍已拓寬得較為廣泛，成為數(shù)學、物理學以及工科許多課程的重要工具。行列式

6、的計算問題非常重要，它是行列式理論的重要組成部分。計算行列式的一般方法是不存在的（若不計在行列式定義中所給出的表達式的話）。處理特殊類型的行列式應用著各種不同的計算方法，這些方法可以簡化行列式的計算。本文第一部分是一般行列式的計算方法，介紹了定義法、化為上（下）三角形法、典型字母行列式法、利用“奇數(shù)階反對稱行列式等于零”的性質、降階法、升階法、拆項法、遞推法、數(shù)學歸納法、分離線性因子法、公式法、元素變形法、乘積法、乘以已知行列式法、輔

7、助法并且這16種方法對應相應的例題。第二部分是分塊矩陣的行列式的計算方法。 </p><p><b>　　關鍵詞</b></p><p>　　行列式；線性代數(shù)；計算方法 The Calculation of Determinant</p><p><b>　　Abstract</b></p>

8、<p>　　The determinant is a tool to solve the linear algebra, its emergence and the earliest application are in solving linear equations, now the application scope get broader and broader and become the important to

9、ol for many courses,for example mathematics, physics and engineering and so on. The calculation of determinant is very important, it is an important part of the theory of the determinant. The general method of calculatin

10、g the determinant is not exist (if it is neglected in determinant defini</p><p>　　should applicate various calculation method, these methods can simplify the calculation of determinant </p><p>　

11、　The first part of this text is general calculation method of determinant and it introduces the definition method, into the upper (lower) triangle method, typical letters determinant method, using "odd number order

12、antisymmetry determinant equals to zero" nature, order reduction method, order addition method, tear open study method, the recursive method, mathematical induction, separation linear factor method, formula method,

13、element shape-shifting method, product method, multiplied by the known </p><p>　　The second part is the calculation methods of partitioned matrix determinant. </p><p><b>　　Key words</b&

14、gt;</p><p>　　Determinant；the linear algebra；calculation method</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　行列式最早出現(xiàn)在十六世紀關于線性方程組的求解問題，時至今日行列式的應用卻遠不及如此，它在消元法，矩陣論，坐標變換，多重積分中的變量替換，解行星運動的微分

15、方程，二次型有廣泛應用，它不僅是線性代數(shù)的核心和基礎，也是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分。近些年，已有許多作者探究過行列式的性質及其計算方法，如張曰云的“n 階r- 循環(huán)行列式的計算”，陳煒的“用間接遞推法計算行列式”等。</p><p>　　通過對行列式的定義性質及計算方法的探究，了解到行列式是一定是方陣，也就是行數(shù)和列數(shù)相等。行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和，和式中每一項的符號由積的各元素

16、的行指標與列指標的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù)，則該項為正；若逆序數(shù)之和為奇數(shù)，則該項為負。當然根據(jù)定義對行列式進行計算是一種方法，但如果行列式的階數(shù)較高的話，用定義去求解的話會比較麻煩，所以根據(jù)行列式某些結構特點探究一些較簡便的計算方法將具有重要意義。</p><p>　　下面來介紹一下全文的結構，來幫助大家認識整篇文章的大意。全文共分為三個部分，第一部分介紹行列式的定義及其性質，第二部分針對各種行列式的

17、一般結構特點歸納出常用的計算方法，第三部分對結構較復雜的行列式歸納出特殊的計算方法，并加以總結。上面對全文有了一個整體的概括，接下來將具體細致的對三個部分進行論述。</p><p>　　2．行列式的定義及其性質</p><p><b>　　2．1逆序數(shù)</b></p><p><b>　　2．1.1 定義</b></

18、p><p>　　個互不相等的正整數(shù)任意一種排列為：，規(guī)定由小到大為標準次序，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有一個逆序數(shù)，該排列全部逆序數(shù)的總合用表示，等于它所有數(shù)字中后面小于前面數(shù)字的個數(shù)之和。例如：</p><p><b>　　2．1.2 性質</b></p><p>　　一個排列中任意兩個元素對換，排列改變奇偶性，即 。</

19、p><p><b>　　證明如下：</b></p><p>　　設排列為，作次相鄰對換后，變成，再作次相鄰對換后，變成，共經過次相鄰對換，而對不同大小的兩元素每次相鄰對換逆序數(shù)要么增加1 ，要么減少1 ，相當于，也就是排列必改變改變奇偶性，次相鄰對換后，故原命題成立。</p><p>　　2．2．階行列式的定義及拓展</p><

20、p>　　【例1】展開三階行列式： </p><p>　　解: 方法：固定行號1，2，3；列號可任意排列為，所有可能排列相應的逆序數(shù)如下，共計種。</p><p><b>　　故</b></p><p>　　2.3 階行列式展項的特點</p><p>　　階行列式展開后，共有項，每一項中唯一包含且必須包含每

21、一行和每一列中的一個元素，不能重復和也不能缺少，理解這一特點可以很快計算出結論只有少數(shù)幾項的行列式。</p><p><b>　　2.4 符號意義</b></p><p>　　中，代表第3行的全部元素； 表第5列的全部元素；余類推。不要錯誤理解為一個元素；</p><p>　　行列式---determinant,故常常把寫成。行---row,

22、一般用表示第一行與第二行對換，余類推。列----column, 用表示第二列與第七列對換，余類推。</p><p>　　2.5當行列式的元素是的函數(shù)，對行列式一階微分時（以三階為例），有下列關系：</p><p>　　2.6．階行列式的5大性質</p><p>　　性質1：轉置（行與列順次互換）其值不變。</p><p>　　性質2：互換任意

23、兩行（列）其值變號。</p><p>　　性質3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符號外。</p><p>　　性質4：任意行列式可按某行（列）分解為兩個行列式之和。</p><p>　　性質5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不變。</p><p>　　行列式的五大性質全部可通過其定義證明；而以后對行列式的運算主要是利用這五

24、個性質。</p><p>　　評 注 對性質4的重要拓展：</p><p>　　設階同型矩陣，，而行列式只是就某一列分解，所以，應當是個行列式之和，即。</p><p>　　以我們經常遇到三階行列式的特征值問題舉例如下：</p><p>　　其中，表示取被展開的行列式中的各列的第一子列，余類推。</p><p>　　

25、特別地，如特征值行列式中，有兩行或兩列對應成比例，上述公式可以簡化為：</p><p>　　評 注 韋達定理的一般形式為： </p><p>　　2.7．行列式元素的余子式展開和階子式的余子式展開定理</p><p>　　2.7.1余子式的概念</p><p>　　元素的余子式：把行列式中某元素所在的行與列全部劃掉，剩余的元素組成的新行

26、列式，稱為該元素的余子式，用表示。如果再考慮余子式的符號，則稱該元素的代數(shù)余子式，用表示。</p><p>　　階子式的余子式：把行列式中任意指定行與列的交叉元素組成的子行列式（稱階子式）所在的行與列全部劃掉，剩余的元素組成的新行列式，叫階子式的余子式，也用表示。如果再考慮余子式的符號，則稱階子式的代數(shù)余子式，用表示。</p><p>　　其中：為所在的行的具體序號；為所在的列的具體序號。

27、</p><p>　　例如：中，二階子式的余子式為；</p><p>　　二階子式的代數(shù)余子式為。</p><p>　　2.7.2 行列式按某一行或一列元素的代數(shù)余子式展開定理 </p><p>　　評 注 元素的代數(shù)余子式與該元素無關，行列式按某一行元素的代數(shù)余子式展開形式中，代數(shù)余子式前面乘以不同的系數(shù)就

28、可以得到不同的行列式。</p><p>　　如果把上述等式兩邊的中括號里的元素換成不同的值，就變成不同的行列式了。</p><p>　　2.7.3 行列式按階子式的代數(shù)余子式展開（拉普拉斯定理）： </p><p>　　下面是經常使用的兩個特殊的拉普拉斯展開式：</p><p><b>　　2.8．萊姆法則</b><

29、;/p><p>　　2.8.1 克萊姆法則</p><p><b>　　元非齊次方程組：</b></p><p><b>　　方程有唯一解：。</b></p><p>　　其中是將中的第列元素換成常數(shù)，其余元素不變而得到的行列式。</p><p>　　如果，對應方程組叫齊次方程組

30、。</p><p>　　2.8.2 克萊姆法則的應用范圍</p><p>　?、僦贿m用于方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的情形；</p><p>　?、?，克萊姆法則失效，方程可能有解，也可能無解；</p><p>　?、埤R次方程組總是有解，當無窮多個解（有非零解）；只有唯一的零解。</p><p><b>　　求&

31、lt;/b></p><p><b>　　解：方法一：</b></p><p>　　方法二：利用拉普拉斯展開：</p><p>　　【例】設行列式 ，則有多少個根？</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　3.針對各種行列式的結構特點歸納出常用的計

32、算方法</p><p>　　3．1范德蒙行列式的計算</p><p>　　范德蒙德行列式的標準形式為:</p><p>　　即n 階范德蒙行列式等于a1 ,a2,a3,…an這n個數(shù)的所有可能的差的乘積。根據(jù)范德蒙德行列式的特點,可以將所給行列式化為范德蒙德行列式,然后利用其計算。常見的方法有以下幾種。</p><p>　　(1).用加邊法轉

33、化為范得蒙行列式</p><p>　　例1:計算n 階行列式</p><p><b>　　Dn=</b></p><p>　　分析:行列式Dn與范德蒙行列式比較少了一個xin-1(i=1,2,…,n),利用加邊的方法在第n-1行與第n之間加上含有xin-1 (i=1,2,…,n)的行，再加上相應的一列1，x1,x2…xn則利用行列式的展開式中

34、xn-1的系數(shù)可得行列式Dn的解。</p><p>　　解:考慮n+1階范德蒙行列</p><p>　　Dn+1= =（x-）(x-) ．．．(x-)</p><p>　　由于行列式Dn恰好是行列式Dn+1的元素的余子式Mn,n+1,即：</p><p>　　Dn= Mn,n+1=-A n,n+1,而由Dn+1按第n+1列展開的表達式及韋達定

35、理知的系數(shù)為：</p><p>　　An,n+1=-（x1+x2+…+xn）</p><p>　　故Dn=（x1+x2+…+xn）</p><p>　?。?）.利用行列式的性質轉化為范德蒙行列式</p><p>　　例2:計算n+1階行列式</p><p><b>　　,</b></p>

36、;<p><b>　　Dn+1=</b></p><p>　　分析:該行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式的排列規(guī)律正好相反,為使Dn+1中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列, 可以將第n+1行依次與上行交換自至第1行, 第n行依次與上行交換自至第2行,??,第2行依次與上行交換自至第n行,于是共經過n+(n-1)+ +2+1= 次行的交換得到n+1階范德蒙德行列式。</p&g

37、t;<p><b>　　解： </b></p><p>　　Dn+1=( -1) </p><p>　　= ( -1)(a-1-a)(a-2-a) (a-n-a)[a-2-(a-1)][a-n-(a-(n-1))]</p><p><b>　　=</b></p><p>　　(3).利

38、用乘法規(guī)則轉化為范德蒙行列式</p><p><b>　　Dn+1=</b></p><p>　　分析:此行列式中每一個元素都可以利用二項式定理展開,可以變成乘積的和。根據(jù)行列式的乘法規(guī)則D = D1. D2.</p><p>　　解：設D1= ，D2= </p><p>　　對D2進行例2中的行的交換就得到范德蒙行列式

39、,于是</p><p>　　Dn+1=D1D2= ... = (-1) </p><p><b>　　= ... .</b></p><p>　　只要熟悉了范德蒙行列式適用的形式和使用技巧,就可以很好地應用范德蒙行列式計算有關的行列式了。 </p><p>　　可加邊計算的行列式的結構特征及計算法</p&

40、gt;<p>　　形如|A+BC|的行列式可用加邊法計算,其中A是n階可逆對角矩陣(或次對角陣),B是n行m列矩陣, C是m行n列矩陣:</p><p>　　(1) 當m=1時, 用單加邊法計算行列式;</p><p>　　(2) 當m=2時, 用雙加邊法計算行列式;</p><p>　　(3) 當m=3時, 用三加邊法計算行列式.</p>

41、<p>　　(4) 推廣:當m>3時,用m次加邊法計算行列式.</p><p>　　(1) 用單加邊法(m=1時)</p><p>　　當A 是對角矩陣時, 設A=,B=,C=,則行列式|A+BC|可采單位邊加法計算, 其中a1a2?an≠0.</p><p>　　此時行列式的一般形式為:</p><p>　　其結構特征為

42、:行列式D的第i行有公因子bi,(主對角線例外)其第i列中有公因子ci (主對角線例外),且可分解為A+BC的形式,其中A是可逆對角矩陣.</p><p><b>　　計算方法：</b></p><p>　　(2) 用雙加邊法(m=2時)</p><p>　　僅就A是次對角矩陣時給出證明,當A是對角矩陣時,可仿照計算.</p>&

43、lt;p>　　設，則行列式|A+BC|可采用雙邊加法計算，其中a1a2?an≠0.</p><p>　　此時行列式的一般形式為:</p><p>　　其結構特征為:按行觀察行列式D的第i行中每個元素的第一項中都有公因子bi,第二項中都有公因子di(次對角線例外);按列觀察, 其第j 列的每個元素的第一項中有公因子cj,而第二項中都有公因子ej(次對角線例外),且可以分解為A+BC的形

44、式.</p><p><b>　　計算方法:</b></p><p>　　（3） 三加邊計算法(m=3時)</p><p>　　設則行列式|A+BC|可采用三加邊法計算.</p><p>　　此時行列式的一般形式為:</p><p>　　其結構特征為:按行觀察行列式D的第i行的每個元素的第一項中都

45、有公因子bi,第二項中都有公因子di,第三項中都有公因子ei (主對角線例外)；按列觀察,其第j 列的每個元素的第一項中都有公因子cj,第二項中都有公因子fj,第三項中都有公因子gj (主對角線例外),且可以分解為A+BC的形式.</p><p><b>　　計算方法:</b></p><p><b>　　+</b></p><

46、;p><b>　　（4）小結</b></p><p>　　由以上過程可推知,形如|An×n+Bn×mCm×n|的行列式均可通過m次加邊法來計算,其中A是n階可逆對角矩陣( 或次對角陣) . 當m=1 時, 采用單加邊法計算; 當m=2 時, 采用雙加邊法計算; 當m=3 時, 采用三加邊法計算. 當m>3 時, 采用m 次加邊法計算. m≥3 時,

47、計算量迅速增加, 因此常見題目中m 均取1, 2.</p><p><b>　　用遞歸法計算行列式</b></p><p>　　所謂遞歸法, 是指把待解決的問題, 歸結到一類與原問題性質相同的、規(guī)模更小的問題中去, 最終求獲原問題之解答。</p><p>　　行列式是典型的遞歸結構,它可以作如下遞歸定義:</p><p>

48、;　　其中,Ani是元素ani的代數(shù)余子式,1≤i≤n</p><p>　　因此, 高階行列式的計算總可以歸結為求其低階子式的計算,也就是說用遞歸法計算行列式具有一般的方法論意義。用遞歸法解題的一般步驟是:</p><p>　　(1)尋找遞推關系式;</p><p>　　(2)根據(jù)遞推關系式,求所需的遞歸邊界條件;</p><p>　　(3)

49、求解遞推關系,或論證遞推關系的性質。</p><p>　　下面通過幾個實例進行說明。</p><p>　　例1 計算爪形行列式</p><p><b>　　解　構造數(shù)列</b></p><p><b>　　，，…,則</b></p><p>　　重復利用以上遞推公式,有<

50、;/p><p><b>　　所以</b></p><p>　　計算Vandermonde 行列式</p><p><b>　　解　構造數(shù)列</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　重復利用以上遞推公式，有</p>&

51、lt;p><b>　　所以</b></p><p>　　用“分拆法、參量法、分解法”計算行列式</p><p><b>　?。ㄒ唬┓植鸱?lt;/b></p><p>　　利用行列式相加的性質, 把行列式分拆為若干個便于計算的行列式之和的方法叫分拆法.</p><p><b>　　例1 設

52、矩陣</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　證明：左式</b></p><p>　　用同樣分拆的方法反復下去, 最后得:</p><p><b>　?。ǘ﹨⒘糠?lt;/b></p><p>　　借助于適

53、當?shù)剡x取參量, 來簡化行列式計算的方法稱為參量法。</p><p><b>　　例2 計算行列式</b></p><p><b>　　解:令</b></p><p>　　則由例1( 取) 知</p><p>　　例3 設為任意整數(shù)，那么，</p><p>　　證明:令，因為

54、為任意整數(shù)，，因此。</p><p><b>　　若，那么</b></p><p><b>　　即，矛盾，所以</b></p><p><b>　?。ㄈ?分解法</b></p><p>　　利用矩陣乘積性質把行列式分解成若干個行列式乘積的方法為分解法.也就是, 如果矩陣A 分

55、解為A=A1A2A3?As, 其中Ai 都是n 階方陣( i=1, 2, ?, s) 則|A|=| A1| | A2| | A3|?| As |.</p><p><b>　　例4 計算行列式</b></p><p><b>　　解： </b></p><p>　　n 階r- 循環(huán)行列式的計算</p>&

56、lt;p><b>　?。?）．引言</b></p><p>　　n階r- 循環(huán)行列式是一種典型的行列式，它的計算方法非常巧妙，也很有代表性，研究它的計算方法，可以提高計算行列式的能力，也能夠完善行列式的計算方法.下面給出它的定義：</p><p><b>　　定義形如：</b></p><p>　　的行列式稱為n 階

57、r- 循環(huán)行列式．簡記為.</p><p>　　(2) n 階r-循環(huán)行列式的計算公式</p><p>　　定理1 設n 階方陣A 的特征根為；為任意多項式，則方陣的特征根為</p><p>　　定理2 若D為引言中定義的n 階r- 循環(huán)行列式，則有</p><p><b>　?。?）</b></p>&l

58、t;p>　　其中 為的n個互不相同的根。</p><p>　　把（1）式稱為n 階r- 循環(huán)行列式的計算公式，下面簡稱公式（1）.</p><p>　　下面將用三種方法證明上述定理，這三種方法分別為：析因子法，作輔助行列式法，特征根法.</p><p>　　證法Ⅰ（析因子法）把D的第i列乘以，，加到第一列，得：</p><p><

59、b>　　，此時，</b></p><p><b>　　利用</b></p><p>　　… … … …</p><p>　　故D必含有因式f(xk),k=1,2,…,n.又每個f(xk)都是關于的一次齊次線性式,而其中含有文字的項全為,即的系數(shù)都是1;其中含有文字的項順序為,這些項的系數(shù)互不相等；故(k=1,2,…,n)

60、各個線性因子是互素的,從而D應有因式，又由于的展開式是含的n次齊次式，而D也是含有的n 次齊次式，故</p><p>　　證法Ⅱ（特征根法）令A為如下n階方陣</p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　假定</b&g

61、t;</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可直接驗證有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b&

62、gt;</p><p><b>　　于是</b></p><p>　　由于根據(jù)題意，A的特征根為,由定理1知,</p><p>　　方陣f(A)的特征根為，</p><p><b>　　故</b></p><p>　　公式（1）把n 階r- 循環(huán)行列式的計算轉化為了多項式值的

63、計算,為了得到行列式的具體值,我們還要結合一些多項式理論進行詳細討論. 公式（1）的兩種證明方法不僅有一定的理論意義，而且還可用來計算其它類型的很多行列式；并且公式（1）也可計算其它類型的行列式，由于篇幅所限，不再論述.</p><p>　　3.6 從一題多解談行列式計算</p><p>　　例 計算n 階行列式</p><p><b>　?。ㄒ唬┤切畏?/p>

64、</b></p><p>　　三角形行列式包括上三角形行列式(主對角線下方的元素全為零的行列式)和下三角形行列式(主對角線上方的元素全為零的行列式) ,三角形行列式的值等于主對角線上所有元素的乘積,即：</p><p>　　一些機構較復雜的行列式經過一系列的初等變換后可以變成三角形行列式。</p><p>　　例題解法一:將各列都加到第一列,并提取公因式

65、,得:</p><p>　　第一列乘以( - a) 分別加到各列上,得:</p><p><b>　　二、拆行(列) 法</b></p><p>　　拆行(列)法(或稱分裂行列式法)就是將所給行列式拆成兩個或若干個行列式之和,然后再求行列式的值。拆行(列) 法有兩種情況:一是行列式中有某行(列) 是兩項之和,可直接利用性質拆項;二是所給行列式中

66、行(列) 沒有兩項和形式。這時需作保持行列式之值不變,使其化為兩項和。例題解法二,將Dn 各列每個元素都寫成兩項之和,其中第一項為a ,除主對角線上元素的第二項為x - 2a外,其余各元素第二項均為0 ,即：</p><p>　　根據(jù)行列式的性質,這個行列式可分成2n 個行列式之和,若某個行列式有兩個或兩個以上的列選自這個行列式各列的第一項,則該行列式至少有兩列相同,其值為0 ,因此,在這2n 個行列式中除去值為

67、0 的外僅剩下n + 1 個,這n + 1 個行列式為:各列全選這個行列式各列的第二項或僅有一列選第一項,其它各列都選第二項。所以,這個行列式化為:</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003：55 -89. </p><p>　　[2] 周宇.淺談行

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