護士工作時間的安排——論文

1、<p><b>　　護士工作時間的安排</b></p><p><b>　　摘 要：</b></p><p>　　本文研究的是在滿足各時間段人員需求量的條件下，醫(yī)院護士排班最優(yōu)問題。根據(jù)題目約束條件，用運籌學中的線性規(guī)劃建立模型，再利用求解,分別算出所需護士人員總數(shù)及加班人員人數(shù)總和，制定了排班的優(yōu)化方案。</p>&l

2、t;p>　　對于問題一，從各時間段人員需求量考慮，依據(jù)每個護士每天工作8小時，且在工作4個小時后需要休息1個小時這一假定條件，本文以每天該科所需的最少護士數(shù)Z為目標函數(shù)，以班次i所需新安排的護士數(shù)為決策變量，以所給該科室每日每班次至少需要護士的數(shù)量為約束條件，最后用編程求解得每天該科所需的最少護士數(shù)為91人。</p><p>　　對于問題二，綜合考慮人員總數(shù)為80、各時間段人員需求量以及加班人員每天加班時間

3、為2個小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息等條件，分別假設出正常上班人員安排在各時間段開始上班的人數(shù)、應加班人員安排在各時間段開始上班的人數(shù)，再以該科室每班次至少需要護士的數(shù)量及排班要求為約束條件建立最優(yōu)化模型。采用編程，求解得總加班人員人數(shù)總和為36人，正常上班人數(shù)總和為44人。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 護士排班 線性規(guī)劃 最優(yōu)方案 </p><p><

4、b>　　問題的重述</b></p><p><b>　　1.1 問題的背景</b></p><p>　　某醫(yī)院的心腦血管科需要制定護士的工作時間表。在心腦血管科的一個工作日分為12個兩小時的時段，每個時段的人員要求不同。以下列出了每個時段的人員需求量：</p><p>　　由于每個護士每天工作8小時，且在工作4個小時后需要休息

5、1個小時，故劃分24個時段。以下列出了每個時段的人員需求量：</p><p><b>　　排班需滿足：</b></p><p>　?。?）每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息1小時。</p><p>　?。?）如果加班，每天加班的時間為2小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息。</p><p>

6、　　1.2需要解決的問題</p><p><b>　　問題1：</b></p><p>　　為滿足每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息 1小時的需求最少需要多少名護士？</p><p>　　如果滿足需求的排班方案不止一種，給出合理的排班方案</p><p><b>　　問題2：</b>

7、;</p><p>　　目前心腦血管科只有80名護士，如果這個數(shù)目不能滿足指定的需求，只能考慮讓部分護士加班。</p><p>　　求解出護士工作時間安排的方案，使需要加班的護士數(shù)目最少。</p><p>　　給出最合理的排班和加班方案，并說明其理由。</p><p><b>　　問題的分析</b></p>

8、<p>　　由于護士排班中存在一系列制度約束, 外加需要考慮方案的可行性, 因此護士排班問題是較為復雜的組合優(yōu)化問題。經(jīng)分析，對該問題處理要分兩個步驟進行：第一，確定該科室不同時間段所需護士數(shù)，并根據(jù)相關(guān)制度，確定排班的約束條件；第二，在最少人數(shù)及排班方案已確定的條件下，算出加班護士人數(shù)的最優(yōu)解。具體分析如下：</p><p><b>　　2.1問題一的分析</b></p&

9、gt;<p>　　護士每天工作8小時，且連續(xù)工作4小時后需要休息1小時，然后再接著工作4小時。例如：在第10時段內(nèi)工作的護士人數(shù)等于第10時段開始工作的護士人數(shù)、第9時段開始工作的人數(shù)、第8時段開始工作的人數(shù)、第7時段開始工作的人數(shù)、以及第5個、第4個、第3個和第2個時段開始工作的護士人數(shù)之和。即：在時段10中，正在工作的護士分別是在時段2、3、4、5、7、8、9、10開始工作。例如：有個護士在時段2開始工作，則她在時段2

10、、時段3、時段4和時段5中將進行工作，在時段6休息，然后在時段7、時段8、時段9和時段10繼續(xù)工作。</p><p>　　我們需要保證在每個時段都有足夠的護士在工作。所以以滿足要求時需要工作的最少護士人數(shù)為目標函數(shù)，護士一天工作八小時，且連續(xù)工作四小時后需要休息1小時為約束條件，建立整數(shù)規(guī)劃模型I，求出滿足需求時需要護士的最少人數(shù)。</p><p>　　護士在凌晨00am—05am開始上班

11、和下班的護士在生活會有很多的不便，比如乘車問題、安全問題等等。這會引起在這段時間上、下班的護士的不滿意。為降低不滿意度，使工作時間安排更加人性化，對上述模型I進行改進。以滿足需求并且需要在凌晨00am—05am開始上班與下班的總護士人數(shù)最少為目標函數(shù)，建立模型II，求出更加合理、更加人性化的工作時間調(diào)度表。</p><p><b>　　2.2問題二的分析</b></p><

12、;p>　　此科室目前只有80名護士，這個數(shù)目不足以滿足需求，故需要安排部分人加班?？紤]到護士每天只加班兩小時，且緊跟隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息，同問題一類似分析。所以以滿足要求時加班人數(shù)最少為目標函數(shù)，建立模型III，求出滿足需求時需要加班的護士的最少人數(shù)。經(jīng)分析，此問亦是建立與求解線性規(guī)劃模型的過程，故確定恰當合適的決策變量、目標函數(shù)及約束條件是求得正確結(jié)果的關(guān)鍵。</p><p><

13、;b>　　模型的假設</b></p><p>　　1、假設忽略護士對班次的個人偏好；</p><p>　　2、假設不考慮國家指定假期影響來進行排班；</p><p>　　3、假設不考慮安排的護士因請假等特殊缺席情況發(fā)生而換班； </p><p>　　4、假設不考慮護士在指定上班時間內(nèi)遲到或早退；</p><

14、;p>　　5、假設所給數(shù)據(jù)真實可靠且每個約束條件醫(yī)院排班均必須考慮；</p><p>　　6、假設計算人數(shù)不滿1時，可以認為能忽略小數(shù)點向上取整；</p><p><b>　　符號說明</b></p><p>　　1. ：第i+1個時間段所需人員數(shù)。</p><p>　　2. ：安排在第i+1個時間段開始上班的人數(shù)

15、。</p><p>　　3. MIN：滿足需求最少需要的護士人員總數(shù)。</p><p>　　4. ：第i+1個時段開始工作的護士人數(shù)中不需要加班的人數(shù)。</p><p>　　5. ：第i+1個時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的人數(shù)。</p><p>　　注：i= 0 , 2. . . 23</p><p><b&

16、gt;　　模型的建立與求解</b></p><p>　　從所要解決的問題和對問題所做的假設出發(fā)，本文對問題一建立了模型Ⅰ，求得每天該科所需的最少護士數(shù)，滿足需求的排班方案不止一種，求出最合理的排班方案，建立模型Ⅱ；對問題二建立了模型III，得到了最少加班護士的人數(shù)。</p><p><b>　　5.1問題一的求解</b></p><p&

17、gt;　　5.1.1模型Ⅰ的建立： </p><p>　　已知該醫(yī)院中,一個工作日分為24個一小時長的時段，每個時段的護士人數(shù)要求都不同。但必須滿足每個時間段都有足夠的護士在工作，并且每個護士每天工作8小時，連續(xù)工作4小時后需要休息1小時。由此可以列出約束條件，然后以滿足需求所需的最少護士人數(shù)為目標函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型。</p><p><b>　　模型I如下：</b>

18、</p><p>　　5.1.2模型I的求解</p><p>　　利用軟件編程求解可以得到結(jié)果（代碼見附錄1）。</p><p>　　圖1 程序1運行結(jié)果</p><p>　　結(jié)論：在每個護士每天工作8小時，且連續(xù)工作4小時候需要休息1小時的條件下，該賓館為滿足工作量的需求至少需要91名護士。</p><p>　　表

19、1 模型一的工作調(diào)度表</p><p>　　5.2.1模型II的建立</p><p>　　改進的模型中，仍然必須保證每個時段都有足夠的護士在工作，護士每天需工作8小時，且連續(xù)工作4小時后需要休息1小時，并且所需護士人數(shù)保持最小值91人，由此可以列出約束條件，建立以滿足需求時需要在凌晨00am—05am開始上班與下班的總護士的人數(shù)最少為目標函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型II。</p>

20、<p><b>　　模型如下：</b></p><p>　　5.2.2模型II的求解</p><p>　　利用LINGO軟件編程求解可以得到結(jié)果（代碼見附錄2）。</p><p>　　圖2 程序2的運行結(jié)果</p><p>　　結(jié)論：由表2可以看出改進后的模型II中，護士在凌晨00am—05am開始上班與下

21、班的總?cè)藬?shù)減少2人。比較可知改進后的模型II能在很大程度上降低護士對工作時間安排的不滿意度，其工作時間調(diào)度表更加合理、更加人性化。</p><p>　　表2 模型II的工作時間調(diào)度表</p><p>　　5.3模型III的建立</p><p>　　不加班的護士每天工作8小時，連續(xù)工作4小時候需休息1小時；需要加班的護士在原工作的基礎上每天加班2小時，且緊隨在后一個

22、4小時工作時段之后，中間沒有休息；總共有80名護士，由此可以列出約束條件，以滿足需求時加班人數(shù)最少為目標函數(shù)建立整數(shù)規(guī)劃模型。 </p><p>　　模型III如下：見附錄三</p><p>　　5.3.1模型III的求解</p><p>　　利用LINGO軟件編程求解可以得到結(jié)果（代碼見附錄3）。</p><p>　　圖3 程序3的運行結(jié)

23、果</p><p>　　結(jié)論：在醫(yī)院科室只有80名護士，加班護士每天加班時間為2小時，且緊隨在后一個四小時工作時段之后，中間沒有休息的條件下，該科室為滿足工作量的需求至少需要36名護士加班。</p><p>　　表3 模型III的工作時間調(diào)度表</p><p>　　六、模型的評價與推廣</p><p><b>　　6.1模型的優(yōu)點

24、</b></p><p>　　文中的數(shù)據(jù)都采用表格的形式給出，更加清晰和直觀；建立的整數(shù)規(guī)劃模型通俗易懂，能與實際緊密聯(lián)系，結(jié)合實際情況對問題進行求解，使得模型具有良好的通用性和推廣性；我們對模型進行改進，得到了更加合理和更加人性化的工作調(diào)度表，有很強的實用性；在模型求解時采用軟件，算法簡單，很容易編程實現(xiàn)，推廣容易并且可信度高。</p><p><b>　　6.2模

25、型的缺點</b></p><p>　　模型的建立在一定理想情況的得出的結(jié)果，未考慮各種客觀因素的影響，難免有一些欠妥之處。例如，所建模型是建立在假設每名護士連續(xù)工作4小時后只能休息1小時，且在休息2小時后繼續(xù)工作4小時的基礎上。這個假設使得所建模型更加簡單但存在一定的不合理性，因為在實際生活中，護士在連續(xù)工作4小時后可以休息不止2小時，然后再進行接下來的工作。</p><p>

26、　　6.3模型的改進與推廣</p><p>　　6.3.1模型的改進</p><p>　　本文中建立的模型假設了每名護士在連續(xù)工作4小時后只能休息1小時，在休息1小時后連續(xù)工作。在實際工作中，護士在工作時間內(nèi)，可能會有特殊情況需要請假；護士上班時間不連續(xù)；或者是有突發(fā)事件導致所需護士人數(shù)增加?？紤]以上因素，可建立一個工作時間不連續(xù)的整數(shù)規(guī)劃模型，用枚舉法可得出在工作時間不連續(xù)的情況下的最優(yōu)

27、人數(shù)與工作時間安排。</p><p>　　6.3.2模型的推廣</p><p>　　本文中建立的整數(shù)規(guī)劃模型不僅可以解決護士工作時間調(diào)度問題，也可以應用于其它領域，比如超市工作人員的時間調(diào)度問題、圖書館工作人員的值班問題等等。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 姜啟源 謝金星 葉俊

28、，《數(shù)學模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003。</p><p>　　[2] 牛映武，《運籌學》，陜西：西安交通大學出版社，1994。</p><p>　　[3] 何堅勇，《最優(yōu)化方法》，北京：清華大學出版社，2007。</p><p>　　[4] 袁新生，《LINGO和Excel在數(shù)學建模中的應用》，北京：科學出版社，2007。</p>&

29、lt;p><b>　　附錄</b></p><p><b>　　附錄1</b></p><p>　　%模型I的LINGO程序1</p><p><b>　　model:</b></p><p>　　MIN=X0+X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10

30、+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23;</p><p>　　X0+X23+X22+X21+X19+X18+X17+X16>=15;</p><p>　　X1+X0+X23+X22+X20+X19+X18+X17>=15;</p><p>　　X2+X1+X0+X23+X21+X20+X1

31、9+X18>=15;</p><p>　　X3+X2+X1+X0+X22+X21+X20+X19>=15;</p><p>　　X4+X3+X2+X1+X23+X22+X21+X20>=15;</p><p>　　X5+X4+X3+X2+X0+X23+X22+X21>=15;</p><p>　　X6+X5+X4+X3

32、+X1+X0+X23+X22>=35;</p><p>　　X7+X6+X5+X4+X2+X1+X0+X23>=35;</p><p>　　X8+X7+X6+X5+X3+X2+X1+X0>=40;</p><p>　　X9+X8+X7+X6+X4+X3+X2+X1>=40;</p><p>　　X10+X9+X8+X7

33、+X5+X4+X3+X2>=40;</p><p>　　X11+X10+X9+X8+X6+X5+X4+X3>=40;</p><p>　　X12+X11+X10+X9+X7+X6+X5+X4>=40;</p><p>　　X13+X12+X11+X10+X8+X7+X6+X5>=40;</p><p>　　X14+X1

34、3+X12+X11+X9+X8+X7+X6>=30;</p><p>　　X15+X14+X13+X12+X10+X9+X8+X7>=30;</p><p>　　X16+X15+X14+X13+X11+X10+X9+X8>=31;</p><p>　　X17+X16+X15+X14+X12+X11+X10+X9>=31;</p>

35、<p>　　X18+X17+X16+X15+X13+X12+X11+X10>=35;</p><p>　　X19+X18+X17+X16+X14+X13+x12+X11>=35;</p><p>　　X20+X19+X18+X17+X15+X14+X13+X12>=30;</p><p>　　X21+X20+X19+X18+X16+X1

36、5+X14+X13>=30;</p><p>　　X22+X21+X20+X19+X17+X16+X15>=20;</p><p>　　X23+X22+X21+X20+X18+X17+X16+X15>=20;</p><p>　　@gin(X0);@gin(X1);@gin(X2);@gin(X4);@gin(X5);@gin(X6);@gin(X

37、7);@gin(X8);</p><p>　　@gin(X9);@gin(X10);@gin(X11);@gin(X12);@gin(X13);@gin(X14);@gin(15);@gin(16);</p><p>　　@gin(X17);@gin(X18);@gin(X19);@gin(X20);@gin(X21);@gin(X22);@gin(X23）;</p><

38、;p><b>　　End</b></p><p><b>　　運行結(jié)果如下：</b></p><p><b>　　附錄2</b></p><p><b>　　model:</b></p><p>　　MIN=X0+X1+X2+X3+X4+X5+X15

39、+X16+X17+X18+X19+X20;</p><p>　　X0+X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23=91;</p><p>　　X0+X23+X22+X21+X19+X18+X17+X16>=15;</p><p>　　X1+

40、X0+X23+X22+X20+X19+X18+X17>=15;</p><p>　　X2+X1+X0+X23+X21+X20+X19+X18>=15;</p><p>　　X3+X2+X1+X0+X22+X21+X20+X19>=15;</p><p>　　X4+X3+X2+X1+X23+X22+X21+X20>=15;</p>

41、<p>　　X5+X4+X3+X2+X0+X23+X22+X21>=15;</p><p>　　X6+X5+X4+X3+X1+X0+X23+X22>=35;</p><p>　　X7+X6+X5+X4+X2+X1+X0+X23>=35;</p><p>　　X8+X7+X6+X5+X3+X2+X1+X0>=40;</p>

42、;<p>　　X9+X8+X7+X6+X4+X3+X2+X1>=40;</p><p>　　X10+X9+X8+X7+X5+X4+X3+X2>=40;</p><p>　　X11+X10+X9+X8+X6+X5+X4+X3>=40;</p><p>　　X12+X11+X10+X9+X7+X6+X5+X4>=40;</p&

43、gt;<p>　　X13+X12+X11+X10+X8+X7+X6+X5>=40;</p><p>　　X14+X13+X12+X11+X9+X8+X7+X6>=30;</p><p>　　X15+X14+X13+X12+X10+X9+X8+X7>=30;</p><p>　　X16+X15+X14+X13+X11+X10+X9+X8

44、>=31;</p><p>　　X17+X16+X15+X14+X12+X11+X10+X9>=31;</p><p>　　X18+X17+X16+X15+X13+X12+X11+X10>=35;</p><p>　　X19+X18+X17+X16+X14+X13+x12+X11>=35;</p><p>　　X20+

45、X19+X18+X17+X15+X14+X13+X12>=30;</p><p>　　X21+X20+X19+X18+X16+X15+X14+X13>=30;</p><p>　　X22+X21+X20+X19+X17+X16+X15>=20;</p><p>　　X23+X22+X21+X20+X18+X17+X16+X15>=20;<

46、;/p><p>　　@gin(X0);@gin(X1);@gin(X2);@gin(X4);@gin(X5);@gin(X6);@gin(X7);@gin(X8);</p><p>　　@gin(X9);@gin(X10);@gin(X11);@gin(X12);@gin(X13);@gin(X14);@gin(15);@gin(16);</p><p>　　@gin(

47、X17);@gin(X18);@gin(X19);@gin(X20);@gin(X21);@gin(X22);@gin(X23);</p><p><b>　　End</b></p><p><b>　　運行結(jié)果如下</b></p><p><b>　　附錄3</b></p><p

48、><b>　　model:</b></p><p>　　MIN=Y0+Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6+Y7+Y8+Y9+Y10+Y11+Y12+Y13+Y14+Y15+Y16+Y17+Y18+Y19+Y20+Y21+Y22+Y23;</p><p>　　Y14+Y15+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21+W19+Y19+W18+Y18

49、+W17+Y17+W16+Y16>=15;</p><p>　　Y15++Y16+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22+W20+Y20+W19+Y19+W18+Y18+W17+Y17>=15;</p><p>　　Y16+Y17+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23+W21+Y21+W20+Y20+W19+Y19+W18+Y18>=15;&

50、lt;/p><p>　　Y17+Y18+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0+W22+Y22+W21+Y21+W20+Y20+W19+Y19>=15;</p><p>　　Y18+Y19+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21+W20+Y20>=15;</p><p>　　Y19+Y20+W4

51、+Y4+W3+Y3+W2+Y2+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21>=15;</p><p>　　Y20+Y21+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4+W3+Y3+W1+Y1+W0+Y0+W23+Y23+W22+Y22>=35;</p><p>　　Y21+Y22+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0+W23+

52、Y23>=35;</p><p>　　Y22+Y23+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1+W0+Y0>=40;</p><p>　　Y23+Y0+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2+W1+Y1>=40;</p><p>　　Y0+Y1+W10+Y10+W

53、9+Y9+W8+Y8+W7+Y7+W5+Y5+W4+Y4+W3+Y3+W2+Y2>=40;</p><p>　　Y1+Y2+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8+W6+Y6+W5+Y5+W4+Y4+W3+Y3>=40;</p><p>　　Y2+Y1+W3+Y3+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5+W

54、4+Y4>=40;</p><p>　　Y3+Y4+W13+Y13+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6+W5+Y5>=40;</p><p>　　Y4+Y5+W14+Y14+W13+Y13+W12+Y12+W11+Y11+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7+W6+Y6>=30;</p><p>　　Y

55、5+Y6+W15+Y15+W14+Y14+W13+Y13+W12+Y12+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8+W7+Y7>=30;</p><p>　　Y6+Y7+W16+Y16+W15+Y15+W14+Y14+W13+Y13+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9+W8+Y8>=31;</p><p>　　Y7+Y8+W17+Y17+W16+Y16+W15+Y15+W

56、14+Y14+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10+W9+Y9>=31;</p><p>　　Y8+Y9+W18+Y18+W17+Y17+W16+Y16+W15+Y15+W13+Y13+W12+Y12+W11+Y11+W10+Y10>=35;</p><p>　　Y9+Y10+W19+Y19+W18+Y18+W17+Y17+W16+Y16+W14+Y14+W13+Y1

57、3+W12+Y12+W11+Y11>=35;</p><p>　　Y10+Y11+W20+Y20+W19+Y19+W18+Y18+W17+Y17+W15+Y15+W14+Y14+W13+Y13+W12+Y12>=30;</p><p>　　Y11+Y12+W21+Y21+W20+Y20+W19+Y19+W18+Y18+W16+Y16+W15+Y15+W14+Y14+W13+Y1

58、3>=30;</p><p>　　Y12+Y13+W22+Y22+W21+Y21+W20+Y20+W19+Y19+W17+Y17+W16+Y16+W15+Y15>=20;</p><p>　　Y13+Y14+W23+Y23+W22+Y22+W21+Y21+W20+Y20+W18+Y18+W17+Y17+W16+Y16+W15+Y15>=20;</p><

59、;p>　　Y0+Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6+Y7+Y8+Y9+Y10+Y11+Y12+Y13+Y14+Y15+Y16+Y17+Y18+Y19+Y20+Y21+Y22+Y23</p><p>　　+W0+W1+W2+W3+W4+W5+W6+W7+W8+W9+W10+W11+W12+W13+W14+W15+W16+W17+W18+W19+W20+W21+W22+W23=80;</p>&l

60、t;p>　　@gin(W0);@gin(W1);@gin(W2);@gin(W4);@gin(W5);@gin(W6);@gin(W7);@gin(W8);</p><p>　　@gin(W9);@gin(W10);@gin(W11);@gin(W12);@gin(W13);@gin(W14);@gin(W15);@gin(W16);</p><p>　　@gin(W17);@gin

61、(W18);@gin(W19);@gin(W20);@gin(W21);@gin(W22);@gin(W23);</p><p>　　@gin(Y0);@gin(Y1);@gin(Y2);@gin(Y4);@gin(Y5);@gin(Y6);@gin(Y7);@gin(Y8);</p><p>　　@gin(Y9);@gin(Y10);@gin(Y11);@gin(Y12);@gin(Y1