機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件第2章

1、微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有兩種方法：1.分析法：根據(jù)系統(tǒng)遵循的定律建立數(shù)學(xué)模型 Ohm定律、kirchhoff定律、newton定律、hooke定律等2.實(shí)驗(yàn)法：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理并擬合建立數(shù)學(xué)模型,1,第2章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 系統(tǒng)的微分方程,,,連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式：,若所有系數(shù)都不是輸入、輸出及其各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則微分方程表示的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；否則，系統(tǒng)為

2、非線性系統(tǒng)。對線性系統(tǒng)，若系數(shù)為常數(shù)則為線性定常系統(tǒng)。,2,為微分方程系數(shù),,,,,,,,線性系統(tǒng)的疊加原理當(dāng)有幾個輸入量同時作用于系統(tǒng)時，可以逐個輸入，求出對應(yīng)輸出，然后把各個輸出疊加，即為系統(tǒng)的總輸出。,,3,,列寫微分方程的一般方法：,確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。,2. 列寫系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程。（物理定律）,3. 消除中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程。,4. 整理微分方程。輸出量有關(guān)項(xiàng)放在方程左側(cè)，輸入量有關(guān)

3、項(xiàng)放在方程右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降階排列。,4,,常用元件關(guān)系式——機(jī)械系統(tǒng),在力F的作用下位移為x,5,6,電路元件兩端電壓u,常用元件關(guān)系式——電網(wǎng)絡(luò),【例1】圖示機(jī)械系統(tǒng) m-c-k，列寫微分方程。,2. 根據(jù)牛頓第二定律 F=ma 列寫原始微分方程：,3. 整理：,7,系統(tǒng)受力圖,,,,【例2】圖示電網(wǎng)絡(luò)，列寫微分方程。,2. 列寫原始微分方程：,3. 消除中間變量i，并整理,8,,,,,,,【例3】圖示電網(wǎng)絡(luò)，列寫微分方程

4、。,1. 明確系統(tǒng)的輸入與輸出：,輸入u1，輸出u2,2. 根據(jù)回路電壓定律列寫微分方程：,3. 消除中間變量 i1、i2，并整理：,9,2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù),11,一、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,零初始條件：系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0時的值均為0； 系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0時的值也為0。,12,在零初始條件下，對方程兩邊求拉氏

5、變換，得：,線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式：,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,則,13,傳遞函數(shù)用以s為變量的代數(shù)方程表示系統(tǒng)的動態(tài)特性。如果傳遞函數(shù)分母s的最高次數(shù)為n，則稱該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。,傳遞函數(shù)的特點(diǎn)：,傳遞函數(shù)比微分方程簡單，通過拉式變換， 實(shí)數(shù)域內(nèi)復(fù)雜的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；,2. 零初始條件下，當(dāng)輸入確定時，輸出完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,3. 物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù) (相似系統(tǒng)),14,4.

6、 由G(s)已知，研究系統(tǒng)在各種輸入作用下的輸出響應(yīng)。5. G(s)未知，給系統(tǒng)加上已知輸入，研究其輸出，得出傳遞函數(shù)G(s)。,15,6.傳遞函數(shù)與微分方程之間的關(guān)系,則傳遞函數(shù)為,例如,,,傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)增益模型,16,二、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù),放大系數(shù)(增益)：K,零點(diǎn)：,極點(diǎn)：,,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)決定著系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。,設(shè)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù),17,根據(jù)laplace變換終值定理，系統(tǒng)

7、的穩(wěn)態(tài)輸出值為,所以G(0)決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值，根據(jù)式,可知，放大系數(shù)(增益)：,,【例4】求圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,1. 確定系統(tǒng)輸入與輸出：,2. 列寫原始微分方程：,3.零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換,18,4. 消除中間變量I1，I2，并整理得：,5. 傳遞函數(shù),,比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)、無慣性環(huán)節(jié)、零階環(huán)節(jié)）輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲而按比例地反映輸入。,動力學(xué)方程：,三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)是由若干典型環(huán)節(jié)組

8、成的。,19,20,【例5】運(yùn)算放大器，輸入電壓ui (t)， 輸出電壓uo(t) 。求傳遞函數(shù)。,輸入電壓ui (t)與輸出電壓uo(t) 之間的關(guān)系：,經(jīng)laplace變換后，得傳遞函數(shù),21,【例6】齒輪傳動副，xi、xo分別為輸入軸、輸出軸轉(zhuǎn)速，z1、z2分別為輸入齒輪和輸出齒輪齒數(shù)。求傳遞函數(shù)。,傳動方程為,,,,2. 慣性環(huán)節(jié)（一階慣性環(huán)節(jié)） ——動力學(xué)方程為一階微分方程,22,動力學(xué)方程：,

9、23,【例7】電網(wǎng)絡(luò)如圖，求傳遞函數(shù)。,消除中間變量i，得,經(jīng)laplace變換得,故傳遞函數(shù),24,【例8】求傳遞函數(shù)。,根據(jù)newton定律有,經(jīng)laplace變換得,故傳遞函數(shù)為,即,,3. 微分環(huán)節(jié)——輸出正比于輸入的微分,動力學(xué)方程：,25,26,【例9】微分運(yùn)算電路如圖，求傳遞函數(shù)。,故傳遞函數(shù)為,根據(jù)電路定律有,推出,經(jīng)laplace變換得,油缸力平衡,節(jié)流閥流量,【例10】機(jī)械流體阻尼器，R為節(jié)流閥液阻，p1、p2為油

10、缸左、右腔單位面積上的壓力，xi活塞位移，xo油缸位移。求傳遞函數(shù)G(s)。,27,由上兩式得,因此,故傳遞函數(shù)為,可知，此阻尼器包括慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié),28,微分環(huán)節(jié)的控制作用：使輸出提前如：對比例環(huán)節(jié)Kp=1輸入斜坡函數(shù)xi(t)=t，則輸出？,比例環(huán)節(jié)的G(s)=Kp=1,若對此比例環(huán)節(jié)再并聯(lián)一微分環(huán)節(jié)Ts，則輸出？,作圖知，原輸出鉛直向上平移T，得到新輸出。系統(tǒng)在每一時刻的輸出都增加了T。新輸出在t1就已達(dá)到原輸出在t2值。

11、——使輸出提前,,4. 積分環(huán)節(jié)——輸出正比于輸入對時間的積分,動力學(xué)方程：,29,傳遞函數(shù)：,30,對積分環(huán)節(jié)，若輸入單位階躍信號 xi(t)=1 , Xi(s)=1/s,有,由圖可知，積分環(huán)節(jié)的特點(diǎn)：1) 輸出量為輸入量對時間的累積，輸出幅值呈線性增長2) 輸出滯后于輸入，經(jīng)過時間T ，輸出才等于輸入3) 輸出具有記憶功能 經(jīng)過一段時間后，當(dāng)輸入變?yōu)?，輸出穩(wěn)定不變,則輸出,,31,【例11】圖示水箱，以流量

12、 為輸入，液面高度變化量 為輸出。求傳遞函數(shù)G(s)。A為水箱截面積，ρ為水的密度。,根據(jù)質(zhì)量守恒定律有,經(jīng)laplace變換得,故傳遞函數(shù)為,32,【例12】積分運(yùn)算電路，求傳遞函數(shù)。,根據(jù)電路定律有,故傳遞函數(shù)為,式中，,,,,,,,,5. 振蕩環(huán)節(jié)（二階振蕩環(huán)節(jié)）,33,傳遞函數(shù)為,wn：無阻尼固有頻率 阻尼比,T=1/ wn：時間常數(shù),34,,【例13】求傳

13、遞函數(shù)。,根據(jù)牛頓第二定律有：,【例14】作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的慣性-阻尼-彈簧系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)動慣量為J的轉(zhuǎn)子上帶有葉片和彈簧，在外部施加一扭矩M作為輸入，以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角θ作為輸出。求傳遞函數(shù)。,35,故傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)動力學(xué)方程為,36,【例15】電氣系統(tǒng)，輸入ui，輸出uo，求傳遞函數(shù)。,故微分方程為,傳遞函數(shù)為,解：根據(jù)kirchhoff定律，有,Laplace變換為,,,傳遞函數(shù)：,37,6. 延時環(huán)節(jié)——輸出滯后輸入時間 ，但不失真地

14、反映輸入。,38,延時環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)的區(qū)別以階躍信號為輸入,慣性環(huán)節(jié),比例環(huán)節(jié),延時環(huán)節(jié),輸出延遲一段時間才接近于所要求的輸出量，但從輸入開始起就有輸出,輸出=輸入時間上延遲τ,典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)小結(jié),3. 同一物理元件在不同系統(tǒng)中的作用不同時，其傳遞函數(shù)也不同。,39,2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化,一、傳遞函數(shù)方框圖將組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)用方框表示，并將相應(yīng)的變量及信號流向聯(lián)系起來，構(gòu)成系統(tǒng)的方框圖。,1、傳遞函數(shù)

15、方框圖的三要素,(1)函數(shù)方框,40,指向方框的箭頭表示輸入的laplace變換離開方框的箭頭表示輸出的laplace變換方框中表示的是輸入與輸出之間的傳遞函數(shù),41,(3)相加點(diǎn),多個輸入，一個輸出：輸出信號等于輸入信號代數(shù)和指向相加點(diǎn)箭頭前方的“+”或“-”表示該輸入信號在代數(shù)運(yùn)算中的符號,(2)分支點(diǎn),同一信號向不同方向傳遞：量綱相同，數(shù)值相等,42,(1) 建立系統(tǒng)原始微分方程（每個元件）,(2) 在零初始條件下，對原始微

16、分方程進(jìn)行拉氏變換， 按因果關(guān)系，繪制方框圖,(3) 按信號流向，依次連接各方框圖 左邊輸入，右邊輸出，反饋則“倒流”,2、建立系統(tǒng)方框圖的步驟,43,【例16】繪制傳遞函數(shù)方框圖。,等效變換指變換前后輸入、輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變,1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則環(huán)節(jié)的串聯(lián)：前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入,二、傳遞函數(shù)方框圖的等效變換,44,,串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為：,環(huán)節(jié)串聯(lián)時等效傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積,4

17、5,,,,,,,,,2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則并聯(lián)：各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和,并聯(lián)后的傳遞函數(shù)為：,環(huán)節(jié)并聯(lián)時等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和,46,3. 反饋環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則,推導(dǎo)過程：,前向通道傳遞函數(shù),反饋通道傳遞函數(shù),開環(huán)傳遞函數(shù),開環(huán)傳遞函數(shù)可以理解為：封閉回路在相加點(diǎn)斷開后，以E(s)為輸入，經(jīng)G(s)、H(s)產(chǎn)生輸出B(s)。,B(s)、E(S)在相加點(diǎn)的量綱相同，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱

18、。,47,反饋回路閉合后,,,展開得,注意：若相加點(diǎn)的B(s)處為負(fù)號，上式中G(s)H(s)前為正號； 若相加點(diǎn)的B(s)處為正號，上式中G(s)H(s)前為負(fù)號。,相加點(diǎn)的B(s)處取“+”，稱為正反饋；取“-”，稱為負(fù)反饋。負(fù)反饋連接是控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式。,48,若反饋回路傳遞函數(shù)H(s)=1，則反饋稱為單位反饋。,,注意：前向通道傳遞函數(shù)、反饋通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)均為局部傳遞函數(shù)；閉環(huán)傳遞函數(shù)才是系統(tǒng)

19、傳遞函數(shù)。,4. 分支點(diǎn)移動規(guī)則分支點(diǎn)由方框之后移到方框之前，為了保證移動后X3不變，應(yīng)在分支路上串入相同傳遞函數(shù)的方框。,49,,,,50,分支點(diǎn)由方框之前移到方框之后，為了保證移動后X3不變，應(yīng)在分支路上串入相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。,,,,,51,5. 相加點(diǎn)移動規(guī)則相加點(diǎn)由方框之前移到方框之后，為了保證X3不變，應(yīng)在移動的支路上串入相同傳遞函數(shù)的方框。,52,,相加點(diǎn)由方框之后移到方框之前，為了保證X3不變，應(yīng)在移動的支

20、路上串入相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。,,,,,,6. 相鄰相加點(diǎn)的移動規(guī)則：可以相互移動,7. 相鄰分支點(diǎn)的移動規(guī)則：可以相互移動,53,分支點(diǎn)相加點(diǎn)之間不能相互移動,,傳遞函數(shù)方框圖的簡化方法方法1：利用等效變換規(guī)則通過移動分支點(diǎn)或相加點(diǎn)，消除交叉連接，使其成為獨(dú)立的小回路，以便用串、并聯(lián)和反饋連接的等效規(guī)則進(jìn)一步簡化。一般先解內(nèi)回路，再逐步向外回路， 一環(huán)環(huán)簡化，最后求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。,54,,,,,【例17】簡化圖示三環(huán)回

21、路，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,55,,,(a),(b),,,56,,(c),57,(c),,,(d),(e),58,【例18】簡化回路，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,,,,,,,,59,60,確定括號內(nèi)每一項(xiàng)的符號：在相加點(diǎn)處，對反饋信號為相加時，取負(fù)號 對反饋信號為相減時，取正號應(yīng)用上式必須具備兩個條件：1)整個方框圖只有一條前向通道；2)各局部反饋回路中存在公共的傳遞函數(shù)方框。,方法2：用公

22、式求含有多個局部反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)：,,反饋回路L1、L2、L3有公共傳遞函數(shù)方框G2,一條前向通道：,61,【例19】簡化回路，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,由公式直接求出閉環(huán)傳遞函數(shù),2.4 考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),62,控制系統(tǒng)受兩類輸入作用：一類是有用輸入或稱給定輸入 ，加在系統(tǒng)的輸入端，另一類則是擾動或稱干擾 ，作用在被控對象上。為了盡可能消除干擾對系統(tǒng)輸出的影響，一般采用反饋控制方

23、式，將系統(tǒng)設(shè)計(jì)成閉環(huán)系統(tǒng)。一個考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖：,63,只考慮給定輸入時：,只考慮干擾輸入時：,線性系統(tǒng)總輸出量：,,結(jié)論：,1. 閉環(huán)系統(tǒng)可抑制干擾的幅度。,系統(tǒng)總輸出量：,,,極小值,,64,2.5 相似原理,數(shù)學(xué)模型形式相同,組成系統(tǒng)的物理元件不同,相似系統(tǒng)：能用形式相同的數(shù)學(xué)模型描述的物理系統(tǒng)。相似量：在微分方程或傳遞函數(shù)中占相同位置的物理量。,65,66,相似量：,質(zhì)量元件,彈簧元件,阻尼元件,電感元件