材料力學(xué)06第六章 彎曲變形

1、第六章 彎曲變形,Chapter6 Deflection of Beams,材料力學(xué),,Mechanics of Materials,,第六章 彎曲變形 (Deflection of Beams),§6–1 基本概念及工程實(shí)例（Basic concepts and example problems),一. 工程實(shí)例（Example problem),但在另外一些情況下,有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形,以滿足特定的

2、工作需要.,例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用.,,1、撓度（ Deflection ） 橫截面形心 C (即軸線上的點(diǎn))在垂直于 x 軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用w表示.,二、基本概念（basic concepts),彎曲變形,,,,2、轉(zhuǎn)角 (slope) 橫截面對(duì)其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角. 用? 表示,彎曲變形,,,,,,,3、撓曲線 (D

3、eflection curve) 梁變形后的軸線稱為撓曲線 .,式中,x 為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo),w 為該點(diǎn)的撓度.,撓曲線,4、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（ Relationship between deflection and slope)：,,5、撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定（Sign convention for deflection and slope),撓度 向上為正,向下為負(fù).,轉(zhuǎn)角 自x 轉(zhuǎn)至切線方向,逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正,順

4、時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù).,,,§6–2 撓曲線的微分方程（ Differential equation of the deflection curve),一、推導(dǎo)公式（Derivation of the formula),1、純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment),橫力彎曲時(shí), M 和 ? 都是x的函數(shù).略去剪力對(duì)梁

5、的位移的影響, 則,2、由數(shù)學(xué)得到平面曲線的曲率 (The curvature from the mathematics ),,,,在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x 軸水平向右為正, w軸豎直向上為正.,曲線向上凸時(shí),,曲線向下凸時(shí):,此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程（Differential equation of the deflection curve),與 1 相比十分微小而可以忽略不計(jì),故上式可近似為,(6.5),,

6、§6–3 用積分法求彎曲變形 （Beam deflection by integration ),一、微分方程的積分 （Integrating the differential equation ),若為等截面直梁, 其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成,2、再積分一次, 得撓度方程(Integrating again gives the equation for the deflection),二、積分常數(shù)的確定

7、（Evaluating the constants of integration),1、邊界條件（Boundary conditions),2、連續(xù)條件 (Continue conditions),1、積分一次得轉(zhuǎn)角方程(The first integration gives the equation for the slope ),,,例題1 圖示一抗彎剛度為 EI 的懸臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.試求梁的撓曲線

8、方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度 和最大轉(zhuǎn)角,,,,,彎曲變形,w,,(1) 彎矩方程為,解：,(2) 撓曲線的近似微分方程為,,彎曲變形,對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分,,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為,邊界條件,將邊界條件代入(3) (4)兩式中,可得,解: 由對(duì)稱性可知，梁的兩個(gè)支反力為,此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為,,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為,彎曲變形,在 x=0 和 x=l 處轉(zhuǎn)角

9、的絕對(duì)值相等且都是最大值，,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為,在梁跨中點(diǎn)處有最大撓度值,例題3 圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁, 在D點(diǎn)處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.,,,,,,,,,,A,B,F,D,a,b,彎曲變形,l,解: 梁的兩個(gè)支反力為,兩段梁的彎矩方程分別為,兩段梁的撓曲線方程分別為,撓曲線方程,轉(zhuǎn)角方程,撓度方程,撓曲線方程,轉(zhuǎn)角方程,撓度方程,D點(diǎn)的連續(xù)條件,,邊界條件,

10、,在 x = a 處,在 x = 0 處，,在 x = l 處，,代入方程可解得:,1,2,將 x = 0 和 x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角,,當(dāng) a > b 時(shí), 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大,彎曲變形,當(dāng) a > b時(shí), x1 < a 最大撓度確實(shí)在第一段梁中,梁中點(diǎn) C 處的撓度為,,結(jié)論: 在簡(jiǎn)支梁中, 不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上無 拐點(diǎn), 其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的

11、撓度值來代替, 其精確度是能滿足工程要求的.,,§6–4 用疊加法求彎曲變形 ( Beam deflections by superposition ),梁的變形微小, 且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí), 梁在幾項(xiàng)荷載(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角， 就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加. 當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿v 軸方向), 其轉(zhuǎn)角是在

12、同一平面內(nèi)(如均在 xy 平面內(nèi))時(shí),則疊加就是代數(shù)和. 這就是疊加原理.,一、疊加原理 (Superposition ),1、載荷疊加(Superposition of loads) 多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.,2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）,1、 按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度.,解:(1)載荷分解如圖,(2)由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形.,B,,

13、,,,(3)疊加,,例題4 一抗彎剛度為 EI 的簡(jiǎn)支梁受荷載如圖 所示.試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度 wC 和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角 ?A , ?B 。,解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單的荷載,如圖所示,例題5 試?yán)茂B加法,求圖所示抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)的撓度 wC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角 ?A , ?B .,,解:可視為正對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載兩種情況的疊加.,（1）正對(duì)稱荷載作用下,（2）反對(duì)稱荷載作用下,在跨中C截面處,撓度

14、 wC等于零,但 轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的 彎矩也等于零,可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長(zhǎng)度為l /2 的簡(jiǎn)支梁,,可得到：,將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加, 即得,,解：將外伸梁沿 B 截面截成兩段,將AB 段看成 B 端固定的懸臂梁,BC 段看成簡(jiǎn)支梁.,B截面兩側(cè)的相互作用為：,就是外伸梁AC的 ?B,wD,簡(jiǎn)支梁BC的受力情況與外伸梁AC 的BC段的受力情況相同,由簡(jiǎn)支梁BC求得的?B,wD,簡(jiǎn)支梁BC的變形就是MB和均布荷

15、載q分別引起變形的疊加.,由疊加原理得:,,,(1)求 ?B ，wD,,(2) 求wA,由于簡(jiǎn)支梁上B截面的轉(zhuǎn)動(dòng),帶動(dòng)AB段一起作剛體運(yùn)動(dòng),使A端產(chǎn)生撓度w1,懸臂梁AB本身的彎曲變形,使A端產(chǎn)生撓度w2,因此，A端的總撓度應(yīng)為,由附錄 1V 查得,二 剛度條件（stiffness condition),1、數(shù)學(xué)表達(dá)式（mathematical formula),2、 剛度條件的應(yīng)用(application of stiffness

16、condition),(1)校核剛度（ Check the stiffness of the beam）,(2)設(shè)計(jì)截面尺寸（Determine the allowable load on the beam）,(3)求許可載荷（Determine the required dimensions of the beam）,例7 下圖為一空心圓桿,內(nèi)外徑分別為:d=40mm、D=80mm,桿的E=210GPa,工程規(guī)定C點(diǎn)的[w/L]=0

17、.00001,B點(diǎn)的[?]=0.001弧度,試核此桿的剛度.,解:(1)結(jié)構(gòu)變換,查表求簡(jiǎn)單載荷變形.,(2)疊加求復(fù)雜載荷下的變形,(3)校核剛度:,(rad),,基本概念 （Basic concepts）,1.超靜定梁（statically indeterminate beams),§6–5 靜不定梁的解法(Solution methods forstatically indeterminate beams),單憑

18、靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁 , 稱為超靜定梁,2.“多余”約束( redundant constraint ),多于維持其靜力平衡所必需的約束,3.“多余”反力( redundant reaction),“多余”與相應(yīng)的支座反力,4.超靜定次數(shù)(degree of statically indeterminate problem ):,超靜定梁的 “多余” 約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù).,n = 未知力的個(gè)數(shù) - 獨(dú)立

19、平衡方程的數(shù)目,二、求解超靜定梁的步驟 (procedure for solving a statically indeterminate),1、畫靜定基建立相當(dāng)系統(tǒng)：將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束,解除多余約束代之以約束反力 RB.得到原超靜定梁的基本靜定系.,2、列幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程,超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的 變形協(xié)調(diào)條件,根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程：,變形幾何方程為,,,,3、列物理方程—變形與力的關(guān)系,

20、查表得,將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程,4、建立補(bǔ)充方程,,,補(bǔ)充方程為,由該式解得,5、求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）,求出該梁固定端的兩個(gè)支反力,,,代以與其相應(yīng)的多余反力偶 mA 得基本靜定系.,變形相容條件為,請(qǐng)同學(xué)們自行完成 ！,方法二:,取支座 A 處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為多余約束.,例題8 梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接, 在梁受荷載作用前, 桿AD內(nèi)沒有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼

21、材制成, 材料的彈性模量為E, 鋼梁橫截面的慣性矩為I, 拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內(nèi)的拉力N.,,,,,,a,2a,A,B,C,q,2q,D,l,,A點(diǎn)的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點(diǎn).即,解：這是一次超靜定問題.將AD桿與梁AC之間的連結(jié)絞看作多余約束.拉力N為多余反力.基本靜定系如圖,,變形幾何方程為,根據(jù)疊加法A端的撓度為,在例題 中已求得,可算出:,拉桿 AD 的伸長(zhǎng)為:,由此解得:,例題 9

22、 求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和彎矩圖. 已知 EI = 5 ? 103 kN.m3 .,,,,,,,,,,,,,,,,,4m,3m,2m,A,B,D,C,30kN,,20kN/m,,解：這是一次超靜定問題,取支座 B 截面上的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)約束為多余約束.,基本靜定系為在 B 支座截面上安置絞的靜定梁，如圖 所示.,多余反力為分別作用于簡(jiǎn)支梁AB 和 BC 的 B端處的一對(duì)彎矩 MB.,變形相容條件

23、為，簡(jiǎn)支梁AB的 B 截面轉(zhuǎn)角和 BC梁 B 截面的轉(zhuǎn)角相等.,,由表中查得:,補(bǔ)充方程為:,解得:,負(fù)號(hào)表示B截面彎矩與假設(shè)相反.,由基本靜定系的平衡方程可求得其余反力,在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖.,,,,,,,,,,,,,,+,-,,,,,,,,,,,32.05,47.95,18.40,11.64,,,,+,+,-,,,,,,,,,25.68,31.80,23.28,,,,1.603m,-,+,,,,,,,,,

24、§6–3 提高彎曲剛度的措施,影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān),而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān).所以,要想提高彎曲剛度,就應(yīng)從上述各種因素入手.一、增大梁的抗彎剛度EI二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置,(1)增大梁的抗彎剛度EI,工程中常采用工字形,箱形截面,為了減小梁的位移,可采取下列措施,(2)調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu),設(shè)法縮短梁的跨長(zhǎng),將能顯著地減小其撓度和轉(zhuǎn)角.這是