將軍飲馬問題講義

1、將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.“詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題.將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該

2、怎樣走才能使路程最短從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬“的問題廣泛流傳.將軍飲馬問題=軸對(duì)稱問題=最短距離問題（軸對(duì)稱是工具，最短距離是題眼）。所謂軸對(duì)稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)線段ab這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對(duì)稱解題。一六大模型1.如圖，直線l和l的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB最小。2.如圖，直線l

3、和l的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB最小。3.如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小.4.如圖，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。5.如圖，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a?（﹣1）?（﹣4）=3

4、，解得a=，所以拋物線解析式為y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x3；（2）存在因?yàn)锳（1，0）、B（4，0），所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，連結(jié)BC交直線x=于點(diǎn)P，如圖，則PA=PB，PAPC=PCPB=BC，此時(shí)PCPA最短，所以此時(shí)四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，因?yàn)锽C==5，所以四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為315=9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰

5、當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解也考查了最短路徑問題2（2015?上城區(qū)一模）設(shè)拋物線y=（x1）（x﹣2）與x軸交于A、C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊），與y軸交于點(diǎn)B（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，△ABD是頂角