牛頓插值法在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

1、《電側(cè) 與 儀表》 1 義 洲. 8牛頓插值 法在測(cè)量 數(shù)據(jù)處理 中的應(yīng)用哈 爾濱投資 高等 ?？?學(xué)校 顧 宇華摘要 本文介紹 了 用牛頓 擂值 法 由瀏量 數(shù)據(jù) 構(gòu) 即 可 用 P n ( ) x 來代 替 f ( ) x 而 且 P n ( ) x 曲線 通 過造瀏 量 曲 線 的公式和 相應(yīng) 的計(jì)算程 序 框 圖. 通 f 認(rèn) ) 各 點(diǎn) ( 即各測(cè)量 點(diǎn) ). 式 中 f 聞、 f 再 x , )、過 實(shí)例 說明 了這種 方

2、法在測(cè) 量數(shù)據(jù) 處 理 中 的應(yīng) f ( 耘 x l ,動(dòng) … 為 插 值 多 項(xiàng) 式 各 階 系 數(shù) 也 稱 各 階用, 最后 對(duì)擂 值誤 差 進(jìn)行 了討 論。 差商. 根 據(jù) 測(cè) 量 值 可 求 得各 階 差商, 即可 獲 得敘詞 插值 法 瀏量 曲 線 計(jì) 算程序 瀏 量 數(shù) 么x ( )。據(jù)處 理 牛頓多 項(xiàng)式 的截 斷 誤 差公式 為一、 月1 舀在測(cè) 量 數(shù)據(jù) 的處 理 中, 插 值 法 是 函數(shù) 逼 近的重要 方 法。 它

3、 的基本 思 想 是, 實(shí) 踐 中碰 到 的函數(shù) f x ( J 的表 達(dá) 式 很 復(fù)雜, 有的 甚 至給 不 出表達(dá) 式, 而 只是 給 出 了函 數(shù) f x ( ) 在 a [, b 1 ( 即 測(cè)量范 圍 ) 上 互 異 的 n + 1 個(gè) 點(diǎn) 不 及 對(duì) 應(yīng) 的 函數(shù)值 了 以)( 即測(cè)量 值, = 1 0, l, … 川。 我 們要 尋 求 某個(gè) 函 數(shù) n P x ( ), 去 近 似 地 代替 f x ( )。 如 果 要

4、 求p。 x ( ) 與 被 近 似 的 函 數(shù) f x ( ) 在 某 些 點(diǎn) 上 具有 相 同的 函數(shù) 值 ( 即 p。 x ( ) 曲線 通過 這 些 點(diǎn) )、 甚至 到某 階 導(dǎo)數(shù)值, 而 在其它點(diǎn) 處 以 p。 (x ) 近 似 代替 f x ( ), 稱 這 樣 的 函 數(shù) 逼 近 問題 為 插 值 問 題。近 似 函數(shù) n P x ( ) 稱 為 插 值 函 數(shù), 選 擇 p: x ( ) 為 代數(shù)多項(xiàng) 式 的這種 插值

5、稱 為代數(shù) 插值 或 稱多 項(xiàng)式插 值, 這 里所指 的就 是 多 項(xiàng) 式 插 值。 牛 頓 多 項(xiàng)式插值法, 也稱差商形式的插值法, 其多項(xiàng)式 pn (x )的 系數(shù) 是 函數(shù) f x ( ) 的各階差商。二、 構(gòu) 造 測(cè)且 曲線 的公 式設(shè) 在 測(cè) 量 過 程 中 得 到 n 十 1 對(duì) 數(shù) 據(jù) i x、 戈( 即 f 以) = 夕 i , i = 0, l, 2, …, 。 ), 構(gòu) 造 測(cè) 量 曲線 的 n次多 項(xiàng) 式 pnx

6、( ), 使它 滿足 條件P。 (養(yǎng)) = y 、(i = 0, l, 2, … 川 ( l )求得 (過 程略 )滿足 公 式 (l ) 條 件 的 牛 頓插值 多項(xiàng) 式公 式 為 :P: (x ) 二 f 闖 + f (凡, x l )x ( 一 勸+ f (x 0, x l , 司 x ( 一 動(dòng) x ( 一 x ) + …十 f 帆, x l , …, 戈 )x ( 一 石X x 一 x , ) … x ( 一 戈一 ! ) (

7、 2 )凡 (x ) = 了(x ) 一 P: x ( ) 二 f 帆, x l, …, 戈, x ) x ( 一 凡)x ( 一 x l ) … x ( 一 戈 ) ( 3)三、 差商 的計(jì) 算及 計(jì) 算程 序框 圖各 階差 商 的計(jì)算公 式 為 二一 階差 商f (凡, x l ) =f ( x ! , 習(xí) =f ( x l ) 一 f (勸X I一 凡f (習(xí) 一 f ( x1)凡 一 x l二 階差 商f 帆 , x 1,動(dòng) 二

8、 f ( x . , 習(xí) 一 f (凡, x l)f x (, , 花, x 3 ) 二凡 一 凡f (凡, x s ) 一 f ( x1,習(xí)x 3 一 X ln 階 差商f (凡, x l , 有 二動(dòng)_ f ( x, ,凡, …,動(dòng) 一 f 帆, x l, …, 戈一 ,)氣 一 凡為明 顯表 示各 階 差 商的 關(guān)系 以 及 為計(jì) 算機(jī)設(shè) 計(jì)計(jì) 算程 序 方便, 列 差 商計(jì) 算表 如表 1。表 1 中對(duì)角 線上劃?rùn)M線 的各 階

9、差商值 正 是公 式 (2 ) 中的各 項(xiàng) 系數(shù)。由表 1 和差 商計(jì)算公 式 可 知, 由 測(cè) 量 值 求各階差 商計(jì)算是很 繁瑣的。 為此可 用 計(jì)算機(jī) 進(jìn)行 計(jì)算, 其計(jì)算程 序框 圖 如 圖 1。程 序框 說明:框 2, 輸 人 數(shù) 據(jù), 共 中 養(yǎng) 是 給 出 值, f (助是測(cè) 量 值 (i = o, l, 2, …, 。 ) : f (i)(i = 0, l, …, n ) 是 差· 2 1f x ( l , 耘

10、 動(dòng) = f 帆, 凡) 一 f x (: , 動(dòng)凡 一 X I1. 2 7 5 7 3 一 1. 1 8 60 00. 80 一 0. 5 5 = 0. 3 5 8 9 3商 差… 階三f 錫 x l, 耘 習(xí) = f 帆, 從, x l ) 一 f 帆, x t , 司氣 一 凡0. 3 5 8 9 3 一 0. 2 80. 8 0 一 0. 4 0 = 0. 19 733各 階 差商計(jì)算值 ( 可 以 用 計(jì)算機(jī) 計(jì) 算) 列于

11、表 2 中, 則 4 次牛 頓插 值多 項(xiàng) 式, 可 由各階 差商代人 公式 ( 2 ) 得 到 :p 式 x ) = 0· 4 10 7 5 + 1. 1 1 6 x ( 一 0. 4 ) + 0. 2 8x ( 一 0. 4)·x ( 一 0. 5 5) + 0. 1 9 7 3 3 x ( 一 0. 4 ) ( x 一 0. 5 5) x ( 一 0. 6 5)+ 0. 0 3 13 4 x ( 一 0. 4

12、)x ( 一 0. 5 5)x ( 一 O. 6 5X x 一 0. 80)并 可 由 p 4x ( ) 求 得 在 測(cè) 量 范 圍 內(nèi)測(cè) 量 點(diǎn) 的 測(cè) 量值. 例 如 求 x = .0 5% 時(shí) 的 測(cè) 量 值, 則 可 把x 二 0. 5 9 6 代人 上式, 求得 :P ( 0. 5 9 6) = 0. 6 3 19 2表 2 差 商 表i 氣 f 閃 一階 差 商 二 階差商 三 階差 商 四 階 差 商 五 階差商0 0.

13、4 0 0 4 10 75l 0. 5 5 0. 57 8 15 1. 116 ) )2 0. 6 5 0. 困 67 5 1. 18以 叉 ) .0 2 8 ( 洲 洲 )3 0. 80 0. 8 8 11 1. 2 7 5 73 0. 35 8 9 3 0. 19 73 34 . 0 叨 1. 泥 65 2 1. 3 84 10 0. 4 3 3 4 8 0 2 13 《 】 ) 0. 03 134以59 6 0. 63 19 5

14、1. 2 9 為 3 a 42 4 0 }0· 2 0 , ,, 一 0. 16 97 8 一 1. 0乃 12五、 誤 差分 析由公式 (3 ) 可 求 得 測(cè) 量 點(diǎn) 的 截 斷誤 差。 對(duì)于 x = .0 5%, 把 它 代人 式 ( 3 ), 先 計(jì) 算 出 系 數(shù)了 認(rèn), x : , 、 凡, 戈, 0. 5 9 6 ) = 一 1. 0 2 6 1 2( 見 表 2 最后 一行 ) 得!R 4( 0. 5 9 6)

15、卜 3. 2 4 9 2 x 10一 ’在 測(cè) 量 范 圍 內(nèi)稱) 近 似 值 的 最 大 截 斷 誤差 可用 下法 求得 :如 當(dāng) f x ( ) 在 測(cè) 量 范 圍 內(nèi) a [, b ] 有 n + 1 階導(dǎo) 數(shù)存 在 時(shí), 利 用 差 商 與 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 (推 導(dǎo)略 ) :因 為 七不 易確 定, 但 若某 些 函 數(shù)能 估計(jì) 出a r nx lf , 十 ’ )(亡 ) }簇Ma m x l n R x ( ) } 簇巨

16、 ` 萬 ` b M( n + l )! m a x l 叫x ) } 砰)f 嘛 x l, …, x n, x ) =可得 :R n x ( ) =f 伍 ` ’) ( { ) ( n + l )!f 帆, x l, …, 戈, x x 一勸x ( 一 x l )… x ( 一 戈)_ f 切 十 ’ ) (勻( n + l )! 叫習(xí), a < 亡 < b其 中 之 裂 磷 } 。 x ( l ) 一 奧劃x ( 一 凡

17、) 一 x ( 一 劫 }( 4 ) 式 就 是 測(cè)量 范 圍 a [,b ] 區(qū) 間 內(nèi)最 大 截 斷 誤差。六、 結(jié)束 語用 牛頓 插 值方 法 處理 測(cè) 量 數(shù) 值, 具 有 使 插值多 項(xiàng) 式通 過 選定 測(cè) 量 值 的特 點(diǎn), 所 以 在 數(shù) 據(jù)處理 中有其一 定 的 應(yīng)用 場(chǎng)合。 當(dāng)測(cè) 量 值 較多、較 密 時(shí), 為了減輕計(jì)算工 作 量 及 提 高 準(zhǔn) 確 性,應(yīng)選取 合適 的測(cè) 量值 作 為差 商計(jì)算 的依據(jù) 求得P。 x