競賽三角函數(shù)訓練題

1、精品資料 歡迎下載三角函數(shù)競賽訓練題 三角函數(shù)競賽訓練題1.（2011 湖北聯(lián)賽）已知 ，如果集合 ，則所有符 R ? ? {sin ,cos2 } {cos ,sin 2 } ? ? ? ? ?合要求的角 構(gòu)成的集合為 ． ?2.（2011 湖北聯(lián)賽）滿足方程 （ ）的實數(shù)對 2 8 sin( ) 16 0 x x xy ? ? ? R, [0,2 ) x y ? ? ?的個數(shù)為

2、 ． ( , ) x y3.設向量 滿足對任意 和θ ) cos sin , cos sin 2 ( ), , 3 ( ? ? ? ? ? ? a a x x ? ? ? ? R x ?∈[0, ], 恒成立. 則實數(shù) a 的取值范圍是 ．π2 2 | | ? ? ? ?4.（2005 全國聯(lián)賽）設 、 、 滿足 ，若對于任意 ? ? ? ? ? ? ? 2 0 ? ? ? ?則． ? ? ? ? ? ) cos

3、( ) cos( , ? ? x x R x , 0 ) cos( ? ? ? x ? ?? ?5.（2007 一試 4）已知函數(shù) ，則 f(x)的最小值 ) 4541 ( 2 ) cos( ) sin( ) ( ? ? ? ? ? xxπx πx x f為 ．6.（2008 一試）設 的內(nèi)角 所對的邊 成等比數(shù)列，則 ABC ? A B C , , , , a b c sin cot cossin cot cosA C

4、AB C B??的取值范圍是 ． 7.設 ，則 的最小值為 ． 1 1 1 sin cos tan tan sin cos y x x x x x x ? ? ? ? ? ? | | y8.（2007 年全國聯(lián)賽）函數(shù) ，若實數(shù) 使得 ( ) 3sin 2cos 1 f x x x ? ? ? , , a b caf(x)+bf(x?c)=1 對任意實數(shù) x 恒成立，則 的值等于 ． ac

5、bcos9.設 若對任意的 ，等式 , 0 ? ? ? ? , 2? ? ? ? ? R x ?+ 恒成立，試求 、 的值。 ) sin( ) cos( ? ? ? ? ? x x 0 cos 2 ? x ? ?10.已知當 x ∈[0，1]時，不等式 x2cosθ－x(1－x)+(1－x) 2sinθ>0 恒成立，試求θ的取值范圍。11.（2010 北大自主招生）存不存在 ，使得 為等差數(shù)列． 0 2 x ? ? ? sin

6、 , cos , tan , cot x x x x精品資料 歡迎下載三角函數(shù)競賽訓練題 三角函數(shù)競賽訓練題1.（2011 湖北聯(lián)賽）已知 ，如果集合 ，則所有符 R ? ? {sin ,cos2 } {cos ,sin 2 } ? ? ? ? ?合要求的角 構(gòu)成的集合為 ． ? { | 2 , } k k Z ? ? ? ? ?2.（2011 湖北聯(lián)賽）滿足方程 （ ）的實數(shù)對 2 8 sin( ) 16 0 x x x

7、y ? ? ? R, [0,2 ) x y ? ? ?的個數(shù)為 ． 8 ( , ) x y3.設向量 滿足對任意 和θ ) cos sin , cos sin 2 ( ), , 3 ( ? ? ? ? ? ? a a x x ? ? ? ? R x ?∈[0, ], 恒成立. 則實數(shù) a 的取值范圍是 ．π2 2 | | ? ? ? ?解:令 則 , cos sin t ? ? ? ?, , ] 2

8、 , 1 [ ? t , 1 cos sin 2 2 ? ? t ? ? ) , 2 ( 2 at x x t ? ? ? ? ? ? ?因 ,2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 21 ) 2 ( 21 ) ( ) 2 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? at t at x x t at x x t所以, 對任意 恒成立 2 | | ? ? ? ? 2 ) ( ) 2 ( 2 2 2 ? ? ? ? ? ? at x

9、 x t R x ?或 或 對 ? 0 2 ) 2 ( 21 2 2 2 ? ? ? ? ? ? at t at t t a at t ? ? ? ? ? 0 4 2t t a 4 ? ?任意 恒成立 或 . ] 2 , 1 [ ? t 1 ? ? a 5 ? a4.（2007 一試 4）已知函數(shù) ，則 f(x)的最小值 ) 4541 ( 2 ) cos( ) sin( ) ( ? ? ? ? ? xxπx πx x f為

10、 ．【解析】實際上 ，設 ) 4541 (2 ) 4 sin( 2) ( ? ?? ?? xxπ πxx f，則 ，則 g(x)≥0，g(x)在 上是增函數(shù)，在 上是增函數(shù)，在 ) 4541 )( 4 sin( 2 ) ( ? ? ? ? x π πx x g ] 43 , 41 [ ] 45 , 43 [上是減函數(shù)，且 上是減函數(shù)，且 y=g(x)的圖像關于直線 的圖像關于直線 對稱，則對任意 對稱，則對任意 ，存在 ，存在 4

11、3 ? x ] 43 , 41 [ 1 ? x，使 ，使 g(x2)= )=g(x1)。于是 。于是 ] 45 , 43 [ 2 ? x，而 ，而 f(x)在 上是減函數(shù)， 上是減函數(shù)， ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 22212111 x fxx gxx gxx g x f ? ? ? ? ? ? ? ] 45 , 43 [所以 所以 ，即 ，即 f(x)在 上的最小值是 上的最小值是 。 55 4 ) 45 (

12、) ( ? ? f x f ] 45 , 41 [ 55 45.（2008 一試）設 的內(nèi)角 所對的邊 成等比數(shù)列，則 ABC ? A B C , , , , a b c sin cot cossin cot cosA C AB C B??的取值范圍是 ． [解] 設 的公比為 ，則 ，而 , , a b c q 2 , b aq c aq ? ?sin cot cos sin cos cos sinsin cot c

13、os sin cos cos sinA C A A C A CB C B B C B C? ? ? ? ?． sin( ) sin( ) sinsin( ) sin( ) sinA C B B b q B C A A a??? ? ? ? ? ? ? ? ?因此，只需求 的取值范圍． q因 成等比數(shù)列，最大邊只能是 或 ，因此 要構(gòu)成三角形的三邊，必需 , , a b c a c , , a b c且只需 且 ．即有不等式組 a b c

14、 ? ? b c a ? ?即22, a aq aqaq aq a? ? ? ? ? ? ? ? ?221 0,1 0.q qq q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得1 5 5 1, 2 25 1 5 1. 2 2qq q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 或從而 ，因此所求的取值范圍是 ． 5 1 5 12 2 q ? ? ? ? 5 1 5 1 ( , ) 2 2? ?7. 2 2 1 ?6.