三次函數(shù)壓軸題

1、 以三次函數(shù)為載體考查導(dǎo)數(shù)內(nèi)容是高考數(shù)學(xué)文科試卷的高頻考點(diǎn)，筆者所教文科班的學(xué)生， 相當(dāng)一部分對(duì)此有內(nèi)容掌握的不是很好，為此筆者整理出部分綜合題， （9 類 35 題）以幫助所教學(xué)生熟悉這類題型，需要說明的是有些選題高于高考題的難度， 也算是出于“取乎其上，得乎其中”的考慮吧.現(xiàn)上傳并附論文《三次函數(shù)性質(zhì)的探索 次函數(shù)性質(zhì)的探索》 （別人的）供參考三次函數(shù)綜合題分類匯編 三次函數(shù)綜合題分類匯編一、三

2、次函數(shù)與切線問題 一、三次函數(shù)與切線問題例 1.已知函數(shù) 在 取得極值，且 ． 3 2 ( ) ( 0) f x ax bx cx a ? ? ? ? 1 x ? ? (1) 1 f ? ?(Ⅰ)試求常數(shù) 的值； , , a b c(Ⅱ)求函數(shù)在點(diǎn) M(1，－1)處的切線方程．解：(Ⅰ) ' 2 ( ) 3 2 f x ax bx c ? ? ?令 =0，依題意知 ' 2 ( ) 3 2 f x ax bx c ? ?

3、?3 2 03 2 00a b ca b ca b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解之得12 032abc? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ， 處切線的斜率 ' 2 3 3 ( ) 2 2 f x x x ? ? (1, 1) M ? ? '(1) 0 k f ? ?切線方程為? 1 y ? ?例 2.已知函數(shù) 3 ( ) 3 . f x x x ? ?（1）求曲線 在

4、點(diǎn) 處的切線方程； ( ) y f x ? 2 x ?（2）若過點(diǎn) 可作曲線 的三條切線，求實(shí)數(shù) 的取值范圍. (1, ) ( 2) A m m ? ? ( ) y f x ? m.解（1）2 3 ( ) 3 3, (2) 9, (2) 2 3 2 2 f x x f f ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴曲線 在 處的切線方程為 ，即 ； ( ) y f x ? 2 x ? 2 9( 2) y x ? ? ? 9 16 0 x y

5、? ? ?（2）過點(diǎn) 向曲線 作切線，設(shè)切點(diǎn)為 (1, ) A m ( ) y f x ? 0 0 ( , ) x y則 3 20 0 0 0 0 3 , ( ) 3 3. y x x k f x x ? ? ? ? ? ?則切線方程為 3 20 0 0 0 ( 3 ) (3 3)( ) y x x x x x ? ? ? ? ?解法一:(Ⅰ)依題意,得 2 '( ) 2 f x x ax b ? ? ?由 '( 1)

6、1 2 0 2 1 f a b b a ? ? ? ? ? ? ? 得 .從而 3 2 1 ( ) (2 1) , '( ) ( 1)( 2 1). 3 f x x ax a x f x x x a ? ? ? ? ? ? ? ? 故令 '( ) 0, 1 1 2 . f x x x a ? ? ? ? ? 得或①當(dāng) a>1 時(shí), 1 2 1 a ? ? ?當(dāng) x 變化時(shí)， '( ) f x 與 ( ) f

7、 x 的變化情況如下表：x ( ,1 2 ) a ?? ? (1 2 , 1) a ? ? ( 1, ) ? ??'( ) f x + － +( ) f x 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增由此得，函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)增區(qū)間為( ,1 2 ) a ?? ? 和( 1, ) ? ?? ，單調(diào)減區(qū)間為(1 2 , 1) a ? ? 。②當(dāng) 1 a ? 時(shí)，1 2 1 a ? ? ? 此時(shí)有 '( ) 0 f x ? 恒成

8、立，且僅在 1 x ? ? 處 '( ) 0 f x ? ，故函數(shù) ( ) f x的單調(diào)增區(qū)間為 R③當(dāng) 1 a ? 時(shí)，1 2 1 a ? ? ? 同理可得，函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)增區(qū)間為( , 1) ?? ? 和(1 2 , ) a ? ?? ，單調(diào)減區(qū)間為( 1,1 2 ) a ? ?綜上：當(dāng) 1 a ? 時(shí)，函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)增區(qū)間為( ,1 2 ) a ?? ? 和( 1, ) ? ?? ，單調(diào)減區(qū)間為

9、(1 2 , 1) a ? ? ；當(dāng) 1 a ? 時(shí)，函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)增區(qū)間為 R；當(dāng) 1 a ? 時(shí)，函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)增區(qū)間為( , 1) ?? ? 和(1 2 , ) a ? ?? ，單調(diào)減區(qū)間為( 1,1 2 ) a ? ? .(Ⅱ)由 1 a ? ? 得 3 2 1 ( ) 3 3 f x x x x ? ? ? 令 2 ( ) 2 3 0 f x x x ? ? ? ? 得 1 2 1, 3 x x ?