幾類具時(shí)滯連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支分析.pdf

1、在對(duì)具時(shí)滯連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中，穩(wěn)定性、周期解的存在性以及分支問題均是很有意義的研究課題。其中，穩(wěn)定性體現(xiàn)了一種結(jié)構(gòu)的平衡；周期解的存在反映了自然界的周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律；分支問題研究的是隨著參數(shù)的變化結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)某些動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生變化的現(xiàn)象。對(duì)以上問題的研究需要綜合運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)理論、泛函、代數(shù)、拓?fù)湟约皥D論等相關(guān)知識(shí)。因此，該方面的研究具有強(qiáng)烈的實(shí)際背景和重大的理論意義。
　　本文利用LaSalle不變?cè)?、拓?fù)涠壤碚?、中心流形定?/p>

2、、規(guī)范型方法以及全局分支定理等理論和方法對(duì)幾類滯后型和中立型微分方程的局部和全局穩(wěn)定性、周期解的存在性以及不動(dòng)點(diǎn)分支、全局Hopf分支進(jìn)行研究。具體內(nèi)容如下：
　　在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行全局穩(wěn)定性和周期解存在性的分析時(shí)，本文主要采用的方法有：利用Lyapunov第二方法結(jié)合圖論中的結(jié)論，證明了一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的多區(qū)域種群增長(zhǎng)模型正不動(dòng)點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；構(gòu)造Lyapunov泛函并結(jié)合LaSalle不變?cè)砼c漸近自治半流的嵌入思想證明了一個(gè)n維多

3、時(shí)滯造血干細(xì)胞模型零點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；構(gòu)造Lyapunov泛函并結(jié)合Barbalat引理，對(duì)一類純量中立型微分方程給出了保證零解全局漸近穩(wěn)定的充分條件。對(duì)于周期解的存在性，本文主要利用了重合度理論結(jié)合Hopf分支分析的方法。
　　在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分支分析過程中，首先需要研究原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化系統(tǒng)的特征方程。對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)而言，特征方程常常是一個(gè)超越方程。本文針對(duì)不同系統(tǒng)的特點(diǎn)，將Routh-Hurwitz判別法分別與Hayes、Rua

4、n和Wei以及Beretta和Kuang提出的判斷超越方程根的分布情況的結(jié)論相結(jié)合，討論了系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分支和Pitchfork分支的存在性。其次，基于中心流形理論，利用Hassard et al、Faria和Magilhaes以及Wang和Wei提出的計(jì)算滯后型和中立型微分方程規(guī)范型方法，討論了不同分支的屬性，其中包括Hopf分支的分支方向、分支周期解的穩(wěn)定性、發(fā)生分支時(shí)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性等。特別地，利用Wu的全局Hopf分

5、支定理并結(jié)合Li和Muldowney關(guān)于高維常微分方程組的Bendixson準(zhǔn)則，本文對(duì)具時(shí)滯的資產(chǎn)定價(jià)模型和具多時(shí)滯造血干細(xì)胞模型Hopf分支的全局存在性給予證明。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于前者，經(jīng)過孤立中心的Hopf連通分支(在參數(shù)分量的投影)是無界的；對(duì)于后者，經(jīng)過孤立中心的Hopf連通分支是有界的，它連接了兩個(gè)不同的中心。利用Krawcewicz等人建立的全局Hopf分支定理，本文證明了一類純量中立型微分方程Hopf分支的全局存在性。此時(shí)，