Banach空間中閉線(xiàn)性算子群逆的擾動(dòng)與表示定理.pdf

1、眾所周知，Banach空間中有界線(xiàn)性算子廣義逆和群逆在奇異微分和差分方程、多體動(dòng)力學(xué)等不同領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用中是非常重要的.廣義逆擾動(dòng)與表示理論是廣義逆理論的核心內(nèi)容之一.所謂廣義逆擾動(dòng)與表示問(wèn)題指的是當(dāng)算子經(jīng)過(guò)微小擾動(dòng)后是否仍存在廣義逆，同時(shí)廣義逆是否（在某種意義下）收斂于原廣義逆，或者是否能給出廣義逆的表示式.
　　我們知道，T+(I+δTT+)-1可能是擾動(dòng)算子廣義逆的最簡(jiǎn)表達(dá)形式.在有界算子情形下，已經(jīng)得到了許多使群逆和廣義逆

2、具有最簡(jiǎn)表達(dá)式的等價(jià)條件.
　　但在實(shí)際應(yīng)用（如數(shù)學(xué)物理、量子力學(xué)和偏微分方程）中會(huì)涉及到大量的無(wú)界算子，而且這些無(wú)界算子中有許多卻具有有界逆或有界廣義逆的.為了解決許多實(shí)際問(wèn)題，我們需要將有界算子情形的廣義逆擾動(dòng)結(jié)果推廣至無(wú)界算子情形.通常，我們會(huì)考慮一類(lèi)重要的無(wú)界算子，稠定閉線(xiàn)性算子.值得指出的是常見(jiàn)的微分算子和偏微分算子都是稠定閉線(xiàn)性算子.
　　本文首先應(yīng)用空間距離和導(dǎo)出極小模等工具在Banach空間中證明了廣義逆局部

3、有界蘊(yùn)含廣義逆的連續(xù)性，由此可得文獻(xiàn)[29]中在Moore-Penrose逆情況下的結(jié)論.
　　定理設(shè)X，Y為Banach空間，T∈B(X，Y)存在廣義逆T+∈B(Y，X)，若存在M，△＞0，當(dāng)δT∈B(X，Y)，‖δT‖＜△時(shí)，(T)=T+δT存在廣義逆(T)+∈B(Y，X)且‖(T)+‖≤M，則δT→0時(shí)，(t)+→T+.
　　其次，本文第四章將著重討論Banach空間中閉線(xiàn)性算子群逆的擾動(dòng)問(wèn)題:設(shè)T為從X到Y(jié)的稠定閉線(xiàn)

4、性算子，且存在有界群逆Tg.小擾動(dòng)δT滿(mǎn)足什么條件可以使得T+δT的群逆具有最簡(jiǎn)表達(dá)式Tg(I+δTTg)-1?進(jìn)一步，是否存在其他的表達(dá)式？
　　定理設(shè)X為Banach空間，T∈C(X)存在群逆Tg∈B(X)，δT∈L(X)關(guān)于T有界且相對(duì)界b＜1，δTTg滿(mǎn)足‖δTTgy‖≤λ1‖y‖+λ2‖(I+δTTg)y‖，(Λ)y∈X，其中λ1，λ2∈[0，1），則下述條件等價(jià):(
　　(1)B=Tg(I+δTTg)-1=(I+

5、TgδT)-1Tg:X→X為T(mén)=T+δT的群逆;
　　(2)R((T))=R（T）且N((T))=N(T);
　　(3)R（(t)）(∪)R（T）且N（T）(∪)N（（T））;
　　(4)(T)=(T)TgT=TTg(T);
　　(5)δT=δTTgT=TTgδT;
　　(6) R(δT)(∪) R(T)且N（T）(∪)N（δT）.)
　　定理設(shè)X為Banach空間，T∈C(X)存在群逆Tg∈B(X)

6、，若R（(T)∩N(Tg）={0}，δT∈L(X)關(guān)于T有界且相對(duì)界b＜l，δTTg滿(mǎn)足:‖δTTgy‖≤λ1‖y‖+λ2‖(I+δTTg)y‖,(Λ)y∈X，其中λ1，λ2∈[0，1）.則B=T+（I+δTT+）-1=（I+T+δT）-1T+:X→X為(T)=T+δT的廣義逆.進(jìn)一步，記(T)=B，(S)=(T)+(T)+(TT)+-I，若R((S))=D((T))，(S)-1∈B(X)，則(T)g存在且((T)g=Tg（I+δTTg