最高階元素個(gè)數(shù)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、1987年Fields獎(jiǎng)獲得者J.G.Thompson提出了如下兩個(gè)著名的猜想：猜想一設(shè)G是有限群，N(G)={n|存在G的一個(gè)共軛類C使得|C|=n}.如果Z(G)=1，M為非交換的單群，并且N(G)=N(M)，則G≌M.猜想二Ml(G)表示群G中l(wèi)階元素組成的集合.設(shè)G和M都是有限群，|Ml(G)|=|Ml(M)|，l=1，2，….如果G可解，則M也可解.陳貴云教授對(duì)這兩個(gè)猜想都進(jìn)行了深入的研究，對(duì)猜想一陳貴云教授于1994年證明了

2、對(duì)素圖不連通的單群結(jié)論成立.對(duì)于猜想二，目前還沒有有效的方法得出一般性的結(jié)果. 文獻(xiàn)[10]研究了最高階元素的個(gè)數(shù)|M(G)|對(duì)群的影響，證明了當(dāng)|M(G)|分別為2，奇數(shù)，2p(p為素?cái)?shù))或ψ(k)時(shí)，G為可解群.文獻(xiàn)[11]證明了當(dāng)|M(G)|=8時(shí)，G可解.文獻(xiàn)[12,13]證明了當(dāng)|M(G)|＜20或?yàn)?p2(p為素?cái)?shù))時(shí)，G可解.文獻(xiàn)[14]證明了當(dāng)πe(G)={1，2，3，5，6}的有限群可解.文獻(xiàn)[15,16]證明

3、了當(dāng)|M(G)|=32或?yàn)?p3(p為素?cái)?shù))時(shí)，G可解.文獻(xiàn)[5]證明了當(dāng)|M(G)|=2pq(7≤p≤q)時(shí)，G可解.文獻(xiàn)[17]證明了當(dāng)|M(G)|=2m(2，m)=1時(shí)，群G可解，文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)|M(G)|=30時(shí)，給出了群G的結(jié)構(gòu)，并證明了它是可解群.以上文獻(xiàn)有助于Thompson猜想二的解決，特別是文獻(xiàn)[3]，突破了過去一般只能證明群的可解性局限得出了完整的結(jié)構(gòu). 本文繼續(xù)了這一工作，得到了以下定理：定理1.1設(shè)G

4、是最高階元素個(gè)數(shù)為42的有限群，則G是下述群之一：(1)G≌[Z42]·H，其中[Z43](≥)G，H≤Z2×Z3×Z7.(2)G有一個(gè)正規(guī)子群Zk(k=49，86，98)，而且G/Zk≤Z2×Z3×Z7.(3)G是方指數(shù)為4的2-群或元素的最高階為6的{2，3}一群.(4)G的階整除2α·3β·7γ，(1≤α≤5，0≤β≤3，0≤γ≤2).特別地，G是可解群. 定理1.2設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為170的有限群，則G是下述群之一：

5、(1)G是{2，5，11}-群，且G的階滿足|G|=2α·5β·11γ，其中α≤8，β≤2，γ≤2.(2)G是方次數(shù)為4的2-群.(3)G是元素的最高階為6的{2，3}-群，或者{2，3，5}-群.特別地，G是可解群. 定理1.3設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為2p4的有限群，其中素?cái)?shù)p＞3，則G可解.定理1.4設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為4p的有限群，其中p素?cái)?shù)，則G要么可解，要么G≌A5·2=S5.定理1.5設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為4p2的有

6、限群，其中p是素?cái)?shù)，則G可解.定理1.6設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為52p的有限群，其中素?cái)?shù)p＞5，則G可解.定理1.7設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為68p的有限群，其中素?cái)?shù)p＞5，則G可解.定理1.8設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為76p的有限群，其中素?cái)?shù)p＞5，則G可解.定理1.9設(shè)G是最高階元素個(gè)數(shù)為8p的有限群，其中p是素?cái)?shù)，則G是下列情形之一： (1)G≌A5(2)若G是元素的最高階為15或30的{2，3，5}-群，且G不可解，則存在G的一截

7、斷同構(gòu)于下述群之一：A5，A6，U4(2).特別地，除(1)，(2)，G是可解群.定理1.10如果M滿足下列條件之一，則Thompson's猜想成立：(1)|M(M)|是奇數(shù)(2)|M(M)|＜20(3)|M(M)|=ψ(k)(4)|M(M)|=2p，2p2，2p3，p是素?cái)?shù)(5)|M(M)|=2n，(n，15)=1(6)|M(M)|=2pq，7≤p＜q，p和q是素?cái)?shù)(7)|M(M)|=42，170(8)|M(M)|=2p4，素?cái)?shù)p＞3