黎曼流形上Hessian方程的先驗(yàn)估計(jì).pdf

1、Hessian方程是一類(lèi)形式上只依賴(lài)于解的Hessain矩陣的特征值的完全非線(xiàn)性偏微分方程。本文主要研究黎曼流形上橢圓型及拋物型Hessian方程解的先驗(yàn)C2估計(jì)及Hessian方程的一類(lèi)障礙問(wèn)題的解的正則性。我們研究黎曼流形上此類(lèi)方程的興趣來(lái)源于它們?cè)谝恍缀螁?wèn)題中的應(yīng)用，如Minkowski問(wèn)題及其推廣、預(yù)設(shè)曲率測(cè)度的Alexandrov問(wèn)題、Weyl問(wèn)題、k-Yamabe問(wèn)題等。我們研究此類(lèi)方程的另一動(dòng)機(jī)來(lái)源于最優(yōu)運(yùn)輸問(wèn)題。一個(gè)最

2、優(yōu)運(yùn)輸問(wèn)題的勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足Monge-Ampère型方程，而Monge-Ampère型方程是我們將要研究的方程的一個(gè)特殊情況。
　　眾所周知，在完全非線(xiàn)性橢圓型和拋物型偏微分方程的研究中，先驗(yàn)C2估計(jì)對(duì)于建立解的存在性及正則性都是非常關(guān)鍵的。這些估計(jì)的結(jié)果及其方法同樣具有很多重要的應(yīng)用，如在本文中，我們用這些方法研究了Hessian方程的一類(lèi)障礙問(wèn)題解的正則性。
　　首先，在一定條件下，給出了帶邊緊致黎曼流形上一類(lèi)橢圓型Hess

3、ian方程的Dirichlet問(wèn)題解的先驗(yàn)C2估計(jì)，然后由Evans-Krylov理論及Schauder理論得到其更高階的估計(jì)，進(jìn)而應(yīng)用連續(xù)性方法和度理論證明了其光滑解的存在性。
　　其次，我們假設(shè)嚴(yán)格下解存在，并用其構(gòu)造一個(gè)閘函數(shù)，進(jìn)而給出了MT=M×(0, T]?M×R上一類(lèi)拋物型Hessian方程的第一初邊值問(wèn)題解的先驗(yàn)C2,1x,t估計(jì)，其中M是帶邊緊致黎曼流形。
　　然后，通過(guò)引入一個(gè)逼近問(wèn)題和對(duì)光滑凸函數(shù)的水平超