擬共形映射理論中的特殊函數(shù).pdf

1、本文主要研究了與擬共形映射偏差理論密切相關(guān)的特殊函數(shù)及其推廣的函數(shù)，包括超幾何函數(shù)、橢圓積分、偏差函數(shù)和橢圓函數(shù).
　　在第一章中，我們首先對(duì)上述這些特殊函數(shù)的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀做了簡(jiǎn)單的綜述.然后介紹了本文的主要內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn).最后給出了在全文中經(jīng)常用到的一些基本概念和兩個(gè)簡(jiǎn)單而十分有用的引理.
　　第二章中，我們研究了Gauss超幾何函數(shù).超幾何函數(shù)是最基本的特殊函數(shù)，許多特殊函數(shù)都是它的特殊情形.我們首先回顧總結(jié)了超幾何

2、函數(shù)的一些基本性質(zhì)，包括積分表示、對(duì)數(shù)奇點(diǎn)處的表現(xiàn)、連接函數(shù)關(guān)系和Elliott恒等式等.這些性質(zhì)在下一章的橢圓積分的研究中起了重要的作用.然后，我們羅列了一些超幾何函數(shù)的單調(diào)性，由此可獲得超幾何函數(shù)在奇點(diǎn)處的表現(xiàn)和超幾何函數(shù)的某種線性化.最后，我們研究了超幾何函數(shù)的廣義凹凸性，并導(dǎo)出了超幾何函數(shù)的可乘性質(zhì).
　　橢圓積分是在參數(shù)的特殊取值下的超幾何函數(shù).在第三章中，我們主要研究了帶一個(gè)參數(shù)的廣義橢圓積分和由廣義橢圓積分的乘積定義

3、的一個(gè)特殊函數(shù)ma(r).首先我們回顧了Legendre恒等式和Landen變換公式.然后研究了特殊函數(shù)ma(r)在a=1/2時(shí)的單調(diào)性和冪平均不等式.接下來，我們研究了帶一個(gè)參數(shù)的廣義橢圓積分和特殊函數(shù)ma(r)的單調(diào)性.函數(shù)ma(r)的單調(diào)性在偏差函數(shù)ψK(r)和模函數(shù)ψaK(r)的精確估計(jì)中起了重要的作用.
　　平面Gr(o)tzsch環(huán)的模由第一類完全橢圓積分的比來表示，即Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù).Gr(o)tzsch環(huán)

4、函數(shù)也出現(xiàn)在經(jīng)典的模方程理論中.第四章中，我們研究Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)及其推廣.利用橢圓積分的Landen變換公式易得Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)的相應(yīng)的變換公式.我們也介紹了Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)的無窮乘積表示.然后我們羅列了Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)的一些已知的單調(diào)性質(zhì)，并研究了它的冪平均不等式，從而推廣了Gr(o)tzsch環(huán)函數(shù)的幾何平均不等式.接著我們證明了廣義Gr(o)tzsch函數(shù)的一些單調(diào)性質(zhì)，這些性質(zhì)可被用來導(dǎo)

5、出下一章中的模函數(shù)和廣義η-函數(shù)的一些精確的界.同時(shí)我們也證明了廣義Gr(o)tzsch函數(shù)的關(guān)于兩個(gè)參數(shù)的冪平均不等式.最后我們引入了函數(shù)的指數(shù)擬可加性的概念，并應(yīng)用指數(shù)擬可加性導(dǎo)出廣義Gr(o)tzsch函數(shù)所滿足的一個(gè)函數(shù)不等式.
　　第五章中，我們研究了擬共形偏差函數(shù)及其推廣.首先，我們給出各種偏差函數(shù)的定義以及它們與模方程的聯(lián)系，并羅列了一些這些函數(shù)滿足的代數(shù)方程.我們還介紹了一些重要的單調(diào)性質(zhì)和線性化變換.然后我們證明

6、了Hersch-Pfluger偏差函數(shù)的H(o)lder平均凹凸性.接著我們建立模函數(shù)的精確不等式，這些不等式涉及到廣義Gr(o)tzsch函數(shù)和特殊函數(shù)ma(r).結(jié)合第三章和第四章中導(dǎo)出的不等式可以獲得Hersch-Pfluger偏差函數(shù)和模函數(shù)的精確的初等界.最后我們研究了廣義η-函數(shù).我們建立了廣義η-函數(shù)和廣義Gr(o)tzsch函數(shù)之間的聯(lián)系，這些聯(lián)系使得我們能夠利用第四章中的廣義Gr(o)tzsch函數(shù)的不等式來獲得廣義η

7、-函數(shù)漸近精確的界.我們還研究了廣義η-函數(shù)的廣義凹凸性來得到一些函數(shù)不等式.
　　Jacobi橢圓函數(shù)是第六章的主要研究對(duì)象.首先我們回顧了Jacobi橢圓函數(shù)的定義和一些簡(jiǎn)單的性質(zhì).然后證明了Jacobi橢圓函數(shù)的單調(diào)性，由此獲得精確不等式推廣了相應(yīng)的三角函數(shù)和橢圓積分的一些不等式.最后我們證明了Jacobi橢圓函數(shù)的H(o)lder平均凹性.
　　在最后一章中，我們對(duì)前面幾章中涉及的函數(shù)引入更多的參數(shù)作進(jìn)一步的推廣.我