幾類隨機和確定性非線性偏微分方程的定性研究.pdf

1、我們知道許多數(shù)學(xué)模型都是在理想狀態(tài)下建立的，然而現(xiàn)實環(huán)境通常存在很多不確定性因素，因此有必要在隨機環(huán)境中考慮已有的模型.本文首先考慮一些重要的淺水波方程，包括:Camassa-Holm方程，Dullin-Gottwald-Holm方程組，b-famaily方程組，Degasperis-Procesi方程和Ostrovsky方程.接下來，分別考慮帶隨機化初值的Hartree方程和帶隨機勢的Hartree方程.最后，我們考慮分數(shù)次布朗運動驅(qū)

2、動的隨機發(fā)展方程.通過對解的適定性，大偏差和隨機吸引子的研究，討論了隨機效應(yīng)對方程解的影響.具體結(jié)構(gòu)如下:
　　第1章給出本文研究的物理背景，研究現(xiàn)狀和預(yù)備知識.在第一部分，我們回顧了Camassa-Holm方程，Dullin-Gottwald-Holm方程組，b-famaily方程組，Ostrovsky方程，Degasperis-Procesi方程等重要的淺水波方程，Hartree方程，和一般的發(fā)展方程的研究進展，指出本文的研究

3、內(nèi)容和意義所在.第二部分給出了文中將要用到的一些預(yù)備知識，包括隨機It(o)積分，對分數(shù)次布朗運動的軌道積分，隨機動力系統(tǒng)和一些不等式.
　　第2章，我們利用正則化方法得到帶加法噪聲的隨機Camassa-Holm方程的適定性.首先，由壓縮映射原理得到正則化方程，即隨機高階Camassa-Holm方程的適定性，其中的關(guān)鍵是得到Bourgain空間Xs，b，b＜1/2中的雙線性估計.其次，我們得到正則化方程解的一致估計，從而可得它為一

4、柯西列，由此得它的極限為隨機Camassa-Holm方程的解.最后，我們指出當初值滿足一定條件，隨機Camassa-Holm方程的解將在有限時間爆破.
　　第3章，我們利用第2章中的正則化方法得到Dullin-Gottwald-Holm方程組的適定性且在相應(yīng)的空間中建立波的爆破準則和整體適定性.最后，我們得到Dullin-Gottwald-Holm方程組的孤立波解.
　　第4章，我們考慮隨機效應(yīng)對b-family方程組的影響

5、，即帶乘法噪聲的隨機b-family方程組解的大偏差原理.這里，我們將再次用到正則化技術(shù)得到帶乘法噪聲的隨機b-family方程組解的適定性.由弱收斂方法和隨機控制理論，我們得到隨機b-family方程組的解滿足大偏差原理.
　　第5章，不同于前面的正則化方法，我們利用迭代技術(shù)得到隨機Degasperis-Procesi方程的局部適定性.最后，通過建立相應(yīng)解精確的爆破準則，我們得到整體解的存在性.
　　第6章，我們探討帶阻尼

6、的隨機Ostrovsky方程的長時間行為.首先，我們得到解的整體存在性，且形成隨機動力系統(tǒng).其次，由能量不等式，我們得到解的一致有界性.最后，因為考慮的區(qū)域為全空間，我們需要建立解的漸近緊性.已有文獻由截尾估計得到漸近緊，這里我們將通過解的分解得到漸近緊，即將解分解為衰減部分和正則部分.
　　第7章分為兩部分.在第一部分，我們利用Burq和Tzvetkov在文獻中提出的隨機化初值方法建立Hartree方程在超臨界空間中解的適定性.

7、文獻指出確定性Hartree方程在超臨界空間中是不適定的，我們的結(jié)果在某種意義下提升了以上結(jié)果.第二部分，我們考慮帶隨機勢的Hartree方程.由Strichartz估計和壓縮映射原理得到隨機Hartree方程在空間Lρ(Ω;C([0，τ];Hs(Rn))∩Lq([0，τ];Ws，r(Rn)))，其中ρ≥q，1/q=γ-2s/6，1/r=1/2+2s-γ/3n中的局部適定性.由動量和能量方程，我們得到隨機Hartree方程在H1(Rn)

8、中的整體存在唯一性.由一般的變分等式，我們討論了爆破解.
　　第8章，我們考慮一類帶分數(shù)次布朗運動的隨機發(fā)展方程的隨機吸引子的存在性.首先，我們在H(o)lder連續(xù)函數(shù)空間中利用不動點定理證明解的存在唯一性且得出這些解產(chǎn)生一個隨機動力系統(tǒng).接下來，我們考慮當樣本軌道滿足特定性質(zhì)時隨機吸引子的存在性.這里，為了得到解的先驗估計，我們需要建立離散形式的Grownall引理，從而得到離散形式的非自治動力系統(tǒng)解的吸收集和后拉吸引子的存在