域上矩陣代數(shù)保持———k-冪等關(guān)系的映射.pdf

1、矩陣代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，它在計(jì)算機(jī)、圖論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論等方面都有許多應(yīng)用.保持問題是矩陣代數(shù)中一個(gè)非常有趣的研究領(lǐng)域，而冪等保持問題是其中一類重要的研究課題，冪等保持問題的結(jié)果可以用于解決某些物理問題，用于刻畫矩陣半群的一般保持問題及李代數(shù)上的保持問題.因此，近年來保持問題的研究十分活躍.
　　本文在介紹保持問題的發(fā)展概況之后，對(duì)矩陣代數(shù)上保持k-冪等關(guān)系(k為大于1的整數(shù))的問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，主要工作如下：

2、>　　(1)給出了保持k-冪等關(guān)系的映射的定義，利用歸納法，刻畫了全矩陣代數(shù)上保持k-冪等關(guān)系的映射.由于k為大于1的任意整數(shù)，k的任意性使得該映射的刻畫比以往保持冪等的映射的刻畫更為復(fù)雜，當(dāng)然，此問題的解決，使得已有的保持冪等關(guān)系的映射的相關(guān)結(jié)果成為本文結(jié)果的特例.我們的結(jié)果表明全矩陣代數(shù)上的保持k-冪等關(guān)系的映射的形式是標(biāo)準(zhǔn)的.
　　(2)刻畫了n≥3時(shí)上三角矩陣代數(shù)到全矩陣代數(shù)的保持k-冪等關(guān)系的映射.由于上三角矩陣代數(shù)中可

3、用于刻畫的“特征”元素少于全矩陣代數(shù)，因而研究的難度加大.所用的方法與前面的全矩陣代數(shù)上的方法也有所不同，我們先刻畫了3階上三角矩陣與On-3的直和的方陣的像，利用所得結(jié)果回過來再刻畫2階上三角矩陣與On-2的直和的方陣的像，進(jìn)而確定所有階數(shù)為n上三角矩陣的像.經(jīng)證明，此映射的形式是標(biāo)準(zhǔn)的.
　　(3)刻畫了對(duì)稱矩陣空間到全矩陣空間保持立方冪等的映射.由于對(duì)稱矩陣的特殊性，位于(i,j)與(j,i)位置的元素相同，它們的像元素之間