復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)中某些問題的研究.pdf

1、有理函數(shù)Julia集的拓?fù)涫菑?fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要問題之一,多項(xiàng)式Julia集的連通性由于Branner-Hubbard猜想的證明[47]已得到較為完整的刻畫.對(duì)于有理函數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),二次有理函數(shù)的連通性也有較為完整的結(jié)論:由Shishikura關(guān)于周期穩(wěn)定域個(gè)數(shù)的上界估計(jì)[50],二次有理函數(shù)沒有Herman環(huán),進(jìn)一步,尹永成老師證明,二次有理函數(shù)的Julia集或者是連通的,或者是一個(gè)Cantor集([60],或者見[40]).Shi

2、shikura還證明由多項(xiàng)式的Newton迭代得到有理函數(shù)其Julia集總是連通的[51].但一般說來,有理函數(shù)Julia集的拓?fù)湟榷囗?xiàng)式情形復(fù)雜得多,例如,Milnor和TanLei(見[40])首次證明了存在下面形式的二次有理函數(shù)fλ,b(z)=κ(z+1/z+b),
　　 其Julia集是一條Sierpinski曲線(或稱Sierpinski地毯);McMullen[38]研究了單項(xiàng)式zn的有理擾動(dòng)Fa(z)=zn+a/

3、zd的Julia集,證明當(dāng)1/n+1/d＜1且|a|充分小時(shí),Fa(z)的Julia集是一個(gè)Cantor環(huán),即同胚于Cantor三分集和單位圓周的乘積集.上述Julia集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在多項(xiàng)式情形都是不可能出現(xiàn)的.
　　 對(duì)于二次有理函數(shù)族Fλ,b(z)的動(dòng)力系統(tǒng),Goldberg和Keen[33](對(duì)|λ|＞1情形)以及尹永成[61](對(duì)λ=1情形)已經(jīng)有了較為深入的研究.
　　 最近幾年,McMuuen所研究的函數(shù)族Fa

4、(z)(現(xiàn)被稱為McMuuen族)引起了人們的極大興趣,Blanchard,Devaneyet.al.,Roesch,Steinmetz等(見[11,12,19-21,23-26,49,53,54])對(duì)這個(gè)單參數(shù)有理函數(shù)族Fa(z)的動(dòng)力系統(tǒng)做了大量的研究,發(fā)現(xiàn)其Julia集有豐富的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),它可以有Cantor集、Cantor環(huán)和Sierpinski曲線等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).同時(shí),他們對(duì)參數(shù)空間中的雙曲分支和不穩(wěn)定集的拓?fù)湟策M(jìn)行了深入研究.

5、r>　　 McMullen函數(shù)族Fa(z)以00和0為其兩個(gè)臨界點(diǎn),其中∞是超吸引不動(dòng)點(diǎn),而0是唯一的極點(diǎn),他們有非常簡(jiǎn)單的軌道.除此之外,Fa(z)還有n+d個(gè)單臨界點(diǎn),稱為自由臨界點(diǎn),它們對(duì)稱地位于臨界圓周{|z|=(|a|d/z)1/(n+d)}上,并且其迭代像或者對(duì)稱的分布在以原點(diǎn)為圓心的圓周上,或者是重合的,因此,它們的軌道同時(shí)趨于無窮遠(yuǎn)或同時(shí)有界,本質(zhì)上Fa(z)可以看作只有一個(gè)自由臨界點(diǎn)(或自由臨界值).對(duì)于
　　

6、 自由臨界軌道趨于無窮遠(yuǎn)的情形,Devaney等[25]給出了一個(gè)關(guān)于Fa(z)的Julia集的拓?fù)涞姆诸惗ɡ?設(shè)B是包含∞的Fatou分支,T是包含0的Fatou分支,則有定理1.(Devaneyet.al.)設(shè)McMullen函數(shù)族Fa(z)的自由臨界軌道趨向無窮遠(yuǎn),那么
　　 (1)如果有一個(gè)自由臨界值位于B中,則Julia集是一個(gè)Cantor集,函數(shù)Fa(z)限制在Julia集上共軛于n+d個(gè)符號(hào)所組成的符號(hào)空間上的移

7、位映射.
　　 (2)如果有一個(gè)自由臨界值位于T中,則Julia集是一個(gè)由擬圓周組成的Cantor環(huán).
　　 (3)如果有一個(gè)自由臨界值位于T的某個(gè)迭代逆像中,則Julia集是一條Sierpinski曲線.
　　 已有的文獻(xiàn)并沒有討論自由臨界軌道有界時(shí),Fa(z)的Julia集的拓?fù)?也沒有討論Julia集的連通性.
　　 本文的第一部分主要研究單峰多項(xiàng)式R(z)=zn+b的有理擾動(dòng)所得到的雙參數(shù)有理函數(shù)

8、族Fa,b(z)=zn+a/zn+b的Julia集的拓?fù)?單峰多項(xiàng)式Pb(z)的動(dòng)力系統(tǒng)是人們十分感興趣的研究對(duì)象,有許多關(guān)于此的重要研究工作,例如[5,22,35,36]等,對(duì)其有理擾動(dòng)得到的函數(shù)族Fa,b(z)的動(dòng)力系統(tǒng)的研究也是人們感興趣的,例如,Blanchard等[13]對(duì)n=2且參數(shù)6為某些特殊值時(shí)Fa,b(z)的動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了初步研究.我們將Fa.b(z)稱為廣義McMullen函數(shù)族.本文將對(duì)Fa,b(z)的Julia集

9、的拓?fù)湫再|(zhì),特別是其連通性做一個(gè)比較完整的刻畫.
　　 與McMullen函數(shù)族類似,對(duì)廣義McMullen函數(shù)族Fa,b(z),無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞是一個(gè)超吸引的不動(dòng)點(diǎn),并且是一個(gè)n-1階的臨界點(diǎn);原點(diǎn)0是唯一的極點(diǎn),并且還是n-1階的臨界點(diǎn).我們同樣記包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的Fatou分支為B,包含原點(diǎn)的Fatou分支為T.
　　 Fa,b(z)還有2n個(gè)單臨界點(diǎn)a1/2n,稱為自由臨界點(diǎn),它們均位于臨界圓周{|z|=|a|1/2n}上

10、.這些單臨界點(diǎn)的像有兩個(gè),記為v_,v+,稱為自由臨界值.與McMullen函數(shù)族不同的是,這兩個(gè)自由臨界值隨著參數(shù)a,6的變化其軌道有完全不同的行為.因此,其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)比McMullen族要復(fù)雜,研究其Julia集的拓?fù)湟萂cMullen族困難許多.
　　 為討論廣義McMulien函數(shù)族Fa,b(z)的Julia集的連通性,我們首先討論其Fatou分支中Herman環(huán)的存在性.已知二次有理函數(shù)沒有Herman,環(huán)[50],

11、Bamon和Boben-rieth[6]證明有理函數(shù)gλ(z)=1+1/λzdωu∈C\{0},也沒有Herman環(huán).本文證明了
　　 定理2.廣義McMullen函數(shù)族Fa,b(z)的Fatou分支中沒有Herman環(huán).
　　 進(jìn)一步,我們按照自由臨界值的軌道的行為,分三種情況研究Fa,b(Z)的Julia集的拓?fù)?1.逃逸情形,即兩個(gè)自由臨界值的軌道均趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn);2.半逃逸情形,即一個(gè)自由臨界值的軌道趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn),

12、另一個(gè)自由臨界值的軌道有界;3.非逃逸情形,即兩個(gè)自由臨界值的軌道均有界.記Fa,b(z)的Julia集為Ja,b,我們得到1.逃逸情形.
　　 定理3.假設(shè)Fa,b(z)的兩個(gè)自由臨界值的軌道都趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么
　　 (1)如果B=T,則兩個(gè)自由臨界值都位于B中,此時(shí)Fa,b(Z)的Julia集Ja,b是一個(gè)Cantor集.
　　 (2)如果B≠T,則
　　 (2.1)當(dāng)兩個(gè)自由臨界值位于不同的Fat

13、ou分支時(shí),Fa,b(Z)的Julia集Ja,b是連通的.特別地,如果有一個(gè)自由臨界值位于T中,此時(shí)Ja,b是一條Sierpinski曲線.
　　 (2.2)當(dāng)兩個(gè)自由臨界值位于同一個(gè)Fatou分支時(shí),Fa,b(Z)的Julia集Ja,b是不連通的,有無窮多個(gè)連通分支,每一個(gè)Fatou分支或者是單連通的,或者是二連通的.特別地,如果兩個(gè)自由臨界值都位于T中,此時(shí)Ja.b是由擬圓構(gòu)成的Cantor環(huán).
　　 2.半逃逸情形

14、.
　　 記Ka,b={z∈(-C):Fma,b(z)(→)∞}表示函數(shù)Fa,b(z)的填充Julia集,這里,Fna,b(z)表示Fa,b(z)的第n次迭代.Ja,b=δKa,b.Ka,b的包含F(xiàn)a,b(z)的自由臨界點(diǎn)的連通分支稱為Ka,b的臨界分支.
　　 定理4.假設(shè)自由臨界值v_的軌道趨于無窮,而自由臨界值u+的軌道有界,那么
　　 (1)如果自由臨界值v_不在B中,則Fa,b(z)的Julia集Ja,

15、b是連通的.
　　 (2)如果自由臨界值v_位于B中,則B=T,Fa,b(Z)的Julia集Ja,b不連通.此時(shí),
　　 (2.1)如果填充Julia集Ka,b每個(gè)臨界分支都是是非周期的,則Ja.b是一個(gè)Cantor集.
　　 (2.2)如果Ka,b的某個(gè)臨界分支是周期的,則該臨界分支同胚于某個(gè)二次多項(xiàng)式的填充Julia集.
　　 3.非逃逸情形.定理5.假設(shè)Fa,b(z)的兩個(gè)自由臨界值的軌道都是有界的

16、,那么
　　 (1)如果每一個(gè)Fatou分支至多包含一個(gè)自由臨界值,則Fa,b(Z)的Julia集Ja,b是連通的.
　　 (2)如果有一個(gè)Fatou分支D1包含兩個(gè)自由臨界值,則Fa,b(Z)的Julia集Ja,b不連通.此時(shí),Fatou分支D1必定是周期的,并且只有一個(gè)逆像D0.
　　 (2.1)如果D0的周期是1,那么它是完全不變的.此時(shí)Julia集Ja,b=δD0,它由無窮多個(gè)互不相交、或不嵌套的拓?fù)鋱A周

17、和不可數(shù)個(gè)單點(diǎn)的并組成.
　　 (2.2)如果D0的周期大于1,那么D0的邊界由無窮多個(gè)互不相交的拓?fù)鋱A周和不可數(shù)個(gè)單點(diǎn)的并組成.
　　 我們還給出了一些例子來說明上面定理中的各種情形是可能出現(xiàn)的.
　　 本文的第二部分研究了多項(xiàng)式Julia集上的Chebyshev多項(xiàng)式.緊集上的Cheby-shev多項(xiàng)式在逼近論[7]、數(shù)值計(jì)算[45]、位勢(shì)理論[3]等方面有重要應(yīng)用.一般說來,求出給定緊集上的Chebyshe

18、v多項(xiàng)式是一件非常困難的事[32].1983年,Barnsleyet.al.[7]得到了二次多項(xiàng)式Tλ(z)=(z-λ)2,λ(C),的Julia集上的2n-階Chebyshev多項(xiàng)式.本文利用復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的基本理論,我們得到了任意首-d次多項(xiàng)式的Julia集上的dn-階Chebyshev多項(xiàng)式.
　　 設(shè)K是復(fù)平面-(C)中緊集,稱包含K的最小圓的圓心為K的幾何中心.定理6.設(shè)P是一個(gè)度為d≥2的首一多項(xiàng)式,則其Julia集Jp

19、上的dn-階Chebyshev多項(xiàng)式為Pn(z)-Cp,其中cp為Julia集Jp的幾何中心.
　　 對(duì)給定平面緊集K,研究C\K的無界分支上關(guān)于∞為奇點(diǎn)的Green函數(shù)所得到的等勢(shì)線上的Chebyshev多項(xiàng)式也是人們感興趣的問題.一個(gè)基本的問題是緊集K上的Chebyshev多項(xiàng)式和K的等勢(shì)線上的Chebyshev多項(xiàng)式是否總是相等的?對(duì)于單位圓周、區(qū)間、甚或?qū)嵼S上兩個(gè)區(qū)間的并等緊集,回答是肯定的(見[4,28,46]).19

20、96年,Stawiska[52]研究了二次多項(xiàng)式Tλ(z)=(z-λ)2的Julia集的等勢(shì)線上的2n-階Cheby-shev多項(xiàng)式,證明當(dāng)λ∈[0,4]時(shí),它和Julia集JT上的2n-階Chebyshev多項(xiàng)式也是相等的.
　　 為此,我們研究了一般多項(xiàng)式的Julia集的等勢(shì)線上的Chebyshev多項(xiàng)式,我們得到定理7.設(shè)P是一個(gè)度為d≥2的首一多項(xiàng)式,Jp是其Julia集,ΓP(R)是其勢(shì)為R＞0的等勢(shì)線,則ΓP(R)上

21、的dn-階Chebyshev多項(xiàng)式為Pn(z)-CR,n其中CR,n是勢(shì)為Rdm＞0的等勢(shì)線ΓP(Rdn)(=Pn(ΓP(R)))的幾何中心.
　　 由此我們看出如果CR,n≠cp,則Jmia集Jp和其等勢(shì)線ΓP(R)上的Chebyshev多項(xiàng)式就不相等.我們給出了兩者不相等的例子,同時(shí),我們還給出了兩者相等的一個(gè)充分條件.
　　 最后,作為一個(gè)應(yīng)用,我們利用Julia集上的Chebyshev多項(xiàng)式,對(duì)Brolin[17