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1、設(shè)∑為E3的有界緊曲面，考慮關(guān)于平均曲率平方的Willmore泛函F(t)=∫H2dA1=∫H2θ1(t)∧θ2(t)，其中H為曲面簇X：∑×(-l,1)→R3的平均曲率，dA1=θ1(t)∧θ2(t)為曲面的體積元.運用曲面變分學(xué)的基本理論知識，我們可以計算出Willmore泛函F(t)=∫H2θ1(t)∧θ2(t)在t=0時的一階變分公式如下，F(xiàn)+(0)=0的條件下，進(jìn)一步可以推導(dǎo)F(t)在t=0時的二階變分公式，F(xiàn)*(0)=∫{1
2、/2(△α)2+α△α(H2-2K)+2α2(6H2-K)(H2-K)+2Hααijhij}θ1∧θ2，其中hij為曲面X(,0)的第二基本形式的分量.特別地，若取∑為R3中的環(huán)面，即∑為r(θ,ψ)=((α+rcosψ)cosθ，(α+rcosψ)sinθ,rsinψ)，其中0
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