不確定線性互補問題的魯棒解.pdf

1、本文研究不確定線性互補闖題，我們采用魯棒優(yōu)化技術探討當輸入數(shù)據(jù)元素為不精確或不確定，屬于某一不確定集的線性互補問題的求解以及魯棒解的存在性等性質(zhì)．不確定線性互補問題是數(shù)學規(guī)劃中的一個全新領域，它與互補理論、魯棒優(yōu)化技術以及隨機線性互補問題等數(shù)學分支緊密相聯(lián)，并在科技和經(jīng)濟方面有著廣泛應用，是一個十分吸引人的研究課題． 互補問題是運籌學與計算數(shù)學的一個交叉研究領域．作為一類新的數(shù)學模型，互補問題首先是由著名運籌學家、數(shù)學規(guī)劃的創(chuàng)始

2、人G．B．Dantzig和他的學生R．W．Cottle于1963年提出，并很快引起了當時運籌學界和應用數(shù)學界的廣泛關注和濃厚興趣，許多人參與了這類問題的研究．由于與最優(yōu)化、變分不等式、平衡問題、對策論、不動點理論等分支的緊密聯(lián)系，以及在力學、工程、經(jīng)濟、交通等許多實際部門的廣泛應用，互補問題越來越顯示其重要性，這激勵了人們對其理論與算法的進一步研究，出現(xiàn)了20世紀90年代以來的研究高潮．在這十余年的時間里，人們不僅改進和豐富了互補問題的

3、理論研究，而且還提出了多種有效算法。 但是，在幾乎所有的文獻中，互補問題模型，均是以確定性問題出現(xiàn)，即人們認為輸入的數(shù)據(jù)是精確已知的，等于某一額定值．然而，我們知道，在許多實際情況中，一些數(shù)據(jù)是很難已知或精確測量的．如果我們忽視數(shù)據(jù)的不精確性或不確定性，就可能出現(xiàn)約束條件被違背，由額定數(shù)據(jù)而獲得的最優(yōu)解不再是最優(yōu)的，甚至是不可行的情況．因此，我們在研究互補問題的同時，應當考慮到輸入數(shù)據(jù)元素的不確定性． 在本文中，我們主要

4、探討不同不確定集下的線性互補問題．目前，在此方面，唯一可借鑒的研究來源于Masao Fakushima和Xiaojun Chen(文獻[231)，Masao Fukushima和Xiaojun Chen是以隨機規(guī)劃的角度出發(fā)，探討不確定線性互補問題．但是，隨機規(guī)劃處理不確定問題，具有必須已知不確定數(shù)據(jù)的隨機概率分布，以及它允許解違反約束條件，從而不能保證某些硬性約束成立等特點．鑒于此，我們采用魯棒優(yōu)化技術--目前處理不確定問題十分流行的

5、一類技術，進行研究．在第二章中，我們先引入了不確定線性互補問題魯棒解的概念．而且，我們證明：如果不確定二次規(guī)劃問題的robust counterpart，這一魯棒優(yōu)化問題的最優(yōu)解存在x<'*>，x<'*> ∈R<'n>，并且最優(yōu)值為O，那么礦就是不確定線性互補問題的魯棒解．由此，我們得到了一種求解不確定線性互補問題的方法：將半無限規(guī)劃模型robust counter-part轉(zhuǎn)化為一有限的顯示的優(yōu)化問題．然后，令優(yōu)化問題的最優(yōu)值為零，從

6、而得到不確定線性互補問題魯棒解的充要條件．根據(jù)以上方法，我們圍繞著不確定集為未知有界的、隨機對稱分布、簡單橢球、以及有限個橢球的交這四種典型形式展開了對不確定線性互補問題的討論． 首先，第二章的第二節(jié)，我們討論未知有界不確定集下的線性互補問題．我們利用魯棒理論：無論輸入數(shù)據(jù)元素在不確定集中的真正取值是什么，約束條件必須滿足這一特點，把魯棒優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為一二次規(guī)劃問題，從而得到不確定線性互補問題魯棒解的充要條件，即：不確定集U為未

7、知有界時，x為不確定線性互補問題的魯棒解當且僅當x滿足不等式組(2.9)．并在此基礎上，我們通過構造下標集合I和引入分塊矩陣類Ψ，將其轉(zhuǎn)化為一類線性互補問題，借助于已有的互補理論，我們探討了不確定線性互補問題的可行性、魯棒解的存在性，從而得到了一些新的結果． 第二章的最后一節(jié)，我們討論當不確定集為隨機對稱分布時，線性互補問題的求解．與前一節(jié)方法的不同之處在于不確定集中含有隨機變量，所以，對于約束條件，應從以往確定性的滿足轉(zhuǎn)變?yōu)樵?/p>

8、概率意義下的滿足．由此，我們引入不確定線性互補問題almost reliable魯棒解的概念，并得到了x為almost reliable魯棒解的充要條件． 第三章為橢球不確定集下的線性互補問題．橢球不確定集在魯棒優(yōu)化理論中具有十分重要的地位．在本節(jié)中，我們利用著名的S-lemma將半無限規(guī)劃模型robust counterpart轉(zhuǎn)化為一半定規(guī)劃問題，并且我們推出，如果z可以擴展為一非線性互補問題的解，則x是不確定線性互補問題的