Sylow對象具有給定局部性質(zhì)的有限群.pdf

1、群論是代數(shù)學(xué)的一個重要分支。有限群研究的一個主要任務(wù)就是研究各種群的構(gòu)造。追溯到上世紀(jì)六、七十年代,平行于有限單群分類問題的研究,大量的關(guān)于有限可解群的深刻而優(yōu)美的結(jié)果也隨之產(chǎn)生。1980年,H.Wielandt提出,在有限群分類問題基本解決之后,應(yīng)優(yōu)先考慮將有限可解群的結(jié)果拓展到一般群類的領(lǐng)域。
　　 130多年前發(fā)表的Sylow定理以及隨之產(chǎn)生的各種Sylow對象,是長期以來有限群論的中心發(fā)展方向之一。在群論研究中,Sylo

2、w對象(準(zhǔn)素子群、準(zhǔn)素子群的正規(guī)化子和中心化子、Hall子群、Carter子群等)在有關(guān)尋找有限群的正規(guī)子群的Frobenius定理,Burnside定理,Glauberman定理等著名定理中被廣泛應(yīng)用。借助于Sylow2-子群,Brauer,Uolter,Gorenstein,Gilman,Janko,Mazurov,Seiskin等許多數(shù)學(xué)家用它來刻畫單群。同樣,準(zhǔn)素子群和它的正規(guī)化子導(dǎo)致了群分析的局部理論,該理論成為有限單群分類理

3、論的基礎(chǔ)。研究群的可解性,Sylow對象同樣起著十分重要的作用。近年來,在單群分類解決之后,可解群和群類理論得到了蓬勃發(fā)展,Sylow對象的研究出現(xiàn)了大量新的重要成果,它們正促進(jìn)著群論和相關(guān)代數(shù)學(xué)科的發(fā)展。
　　 一個子群H稱為在G中可補(bǔ)的,如果存在一個子群K,使得G=HK且H∩K=1。作為可補(bǔ)的更一般性概念,群G的子群日稱為在G中可補(bǔ)充,如果存在G的子群K滿足G=HK,此時K稱為H在G中的補(bǔ)充。眾所周知,子群的可補(bǔ)性質(zhì)對有限群

4、研究有著重要的作用。例如,1937年,Hall證明了:一個有限群G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意Sylow子群在G中可補(bǔ)。1965年,Kegel證明了:如果群G的任意極大子群在G中有循環(huán)補(bǔ)充或G的某一個冪零子群在G中有冪零補(bǔ)充,則G可解。1982年,Arad和Ward證明了G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意Sylow2-子群和任意Sylow3-子群在G中可補(bǔ)。
　　 作為以上研究的發(fā)展,近年來,國內(nèi)外許多學(xué)者利用Sylow對象的可補(bǔ)性質(zhì)開展了

5、廣泛而深入的研究。如王燕鳴在1996年介紹了c-正規(guī)子群(c-補(bǔ))的概念,證明了G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的每個極大子群在G中c-正規(guī)。1999年,郭秀云等證明了:如果群G的任意Sylow子群的極大子群在G中可補(bǔ),或G的每個極小子群在G中可補(bǔ),則G是超可解的。2008年,郭文彬給出了F-可補(bǔ)子群的概念,結(jié)合群類理論,利用子群的F-可補(bǔ)性質(zhì)得到了有關(guān)可解群和超可解群的一些新的刻畫。
　　 對于非可解群,一些學(xué)者利用廣義Fitting子群

6、F*(G)的某些準(zhǔn)素子群的局部性質(zhì),得到了有限群結(jié)構(gòu)的一些新的信息。
　　 作為以上工作的繼續(xù),本學(xué)位論文結(jié)合群類群系理論,從另一角度對子群的補(bǔ)充加以限制,給出了Fs-可補(bǔ)子群的概念,并利用Fs-可補(bǔ)子群的性質(zhì)得到了群的一些新的重要性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。特別地,利用Sylow對象的Fs-可補(bǔ)的性質(zhì)對可解群群類、p-冪零群群類、p-超可解群群類等具體群類進(jìn)行了細(xì)致的刻畫。同時通過對Fitting子群和廣義Fitting子群中某些準(zhǔn)素子群的F

7、s-可補(bǔ)性質(zhì)的考察,研究了相關(guān)群類和群系的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。作為一類特殊的可補(bǔ)子群的局部性質(zhì),Fs-可補(bǔ)性可以認(rèn)為是對子群可補(bǔ)性研究的自然延伸,而且隨著與群類群系理論的相結(jié)合,就可以產(chǎn)生一系列新的方法來揭示有限群的構(gòu)造。
　　 本論文主要分三個部分討論了Sylow對象具有局部性質(zhì)的有限群的構(gòu)造。
　　 第一部分,對于一個群類F,我們首先構(gòu)造并定義了Fs-可補(bǔ)子群的概念,較系統(tǒng)地研究了Fs-可補(bǔ)子群的一般性質(zhì),其中利用Sylow

8、子群的極大子群、正規(guī)化子等重要Sylow對象的Fs-可補(bǔ)性質(zhì)對p-冪零群、p-超可解群的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了較為廣泛而深入的研究,得到了一批新成果。主要結(jié)果有:
　　 設(shè)G是有限群,p是|G|的奇素因子,P是G的Sylow p-子群。那么G是p-冪零的充分必要條件是如果NG(P))是p-冪零的且P的每一個極大子群在G中Fs-可補(bǔ),這里F是所有p-冪零群組成的群類。
　　 設(shè)G是p-可解群,p是|G|的一個素因子。那么G是p-超可解

9、的當(dāng)且僅當(dāng)Fp(G)的非循環(huán)Sylow p-子群的每個極人子群在G中Fs-可補(bǔ),這里F是由所p-超可解群組成的群類。
　　 接著結(jié)合群類群系理論,通過對Fitting子群和廣義Fitting子群中某些子群的Fs-可補(bǔ)性質(zhì)的考察,得到了一個群屬于某些包含超可解群系的飽和群系的條件,研究了相關(guān)群類和群系的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。主要結(jié)果有:
　　 設(shè)F是包含u的一個飽和群系,這里u表示由所有超可解群組成的群系。假設(shè)G是一個群,H是G的正

10、規(guī)子群且滿足G/H∈F。如果F*(H)的非循環(huán)的Sylow子群的任意極大子群在G中或者有超可解補(bǔ),或者有us-補(bǔ),則G∈F。
　　 此結(jié)論推廣了韋華全的結(jié)果:設(shè)F是包u的一個飽和群系,這里u表示由所以超可解群組成的群系。假設(shè)G是一個群,H是G正規(guī)子群且G/日∈F。如果F*(H)的Sylow子群的任意極大子群在G中c-正規(guī),則G∈F。
　　 同時我們還得到了可解群的一些新的刻畫(定理2.2.17,定理2.2.18):

11、>　　 第二部分,討論了子群的弱c-正規(guī)性。我們利用準(zhǔn)素子群的弱c-正規(guī)性,給出了一個群是可解群的若干條件。同時我們還應(yīng)用極大子群和2-極大子群的弱c-正規(guī)性,得到了群p-冪零、p-可解、超可解的一些充分條件。主要定理有:
　　 設(shè)H是群G的Hallπ-子群并且2∈π。如果NG(H)超可解且NG(H)的某一極大子群在G中弱c-正規(guī),則G可解。
　　 設(shè)G是可解群,F(G)的每個Sylow子群的極大子群在G中弱c-正規(guī),

12、則G超可解群。
　　 設(shè)G是一有限群,則G是可解的充分必要條件是G的任一個包含在Fsc中的非冪零極大子群M在G中弱c-正規(guī)。
　　 該學(xué)位論文的第三部分研究了Sylow對象具有超可解s-補(bǔ)的有限群。我們利用Fitting子群和廣義Fitting子群的某些準(zhǔn)素子群的超可解s-可補(bǔ)性,研究了相關(guān)群類的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),得到有限群特別是超可解群一些新的結(jié)果。主要結(jié)果有:
　　 假設(shè)G是一個有限群,且具有可解正規(guī)子群H使得G/