基于快速傅里葉轉(zhuǎn)換的CGMY指數(shù)Levy過程在期權(quán)定價過程中的應(yīng)用.pdf

1、金融工程作為量化金融領(lǐng)域的重要組成部分，在交易以及策略運用上都有極好的實踐性，尤其是數(shù)值算法以及MATLAB，C++等計算軟件在金融應(yīng)用上的廣泛化，使得深諸此道的量化基金收益率遠(yuǎn)遠(yuǎn)的領(lǐng)先于傳統(tǒng)基金，但與此同時，此類基金在交易上的人為失誤率卻大大的降低，因此量化工具的合理使用對于金融市場有效性的提高有極大的推動作用。但是過去的一個多世紀(jì)以來，特別是始于CDS過度運用的全球化金融危機的蔓延，也使得我們深刻的感到:量化金融工具異于合理的使用也

2、將會給整個金融市場帶來動蕩以及難以估計的損失，水能載舟，亦能覆舟，因此，基于量化工具研究的資產(chǎn)定價機制的進一步的完善具有現(xiàn)實意義。
　　期權(quán)，就其本質(zhì)而言，反映的是期權(quán)買賣雙方對于市場風(fēng)險以及價值判定的不同理解，也反映了套期保值者對于單邊風(fēng)險的測定，在權(quán)利上的非對等性，使其有著良好的交易投資，風(fēng)險規(guī)避和價值創(chuàng)造的功能，因此，國際上成熟的期權(quán)市場交易都是相當(dāng)?shù)幕钴S，合理的期權(quán)定價更突顯其深遠(yuǎn)的實踐意義?，F(xiàn)代數(shù)量金融定價的長足發(fā)展始于

3、Black，Sholes以及Merton(1976)的B-S模型的提出，此基礎(chǔ)上的Greek Letter套利策略，目前已被廣泛的應(yīng)用于金融市場，但是由于其假設(shè)過于苛刻完美，近些年來實證結(jié)果顯示，該模型無法解釋以下現(xiàn)象:(1)隱含波動率微笑現(xiàn)象(2)股價的隨機跳躍現(xiàn)象(3)股票收益的“尖峰厚尾”現(xiàn)象。指數(shù)Levy過程作為隨后出現(xiàn)的一種修正模型，該過程包含線性漂移部分，含有布朗運動的高斯分布部分以及跳躍部分，能夠更好的捕捉到價格的隨機現(xiàn)象

4、，有效地擬合歷史股價數(shù)據(jù)，加之其理論本身也不斷的發(fā)展成熟，已引起金融從業(yè)人員的日益重視。
　　Carr和Madan(2002)的CGMY模型作為指數(shù)Levy過程在數(shù)量金融應(yīng)用上的經(jīng)典之作，是作者基于發(fā)表于1998年的VG模型上的一般化模型，在VG模型基礎(chǔ)上加入變量Y，通過Y在不同區(qū)間的取值，模擬跳躍活動達到率水平，更好地兼容有限活動以及無限活動率形式，對于資本市場產(chǎn)品的歷史收益擬合度較高，但是由于其理論復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)要求較高，自其

5、發(fā)表以來的十幾年間，基于此的研究一直未能深入，尤其是國內(nèi)的相關(guān)研究，還處于基礎(chǔ)的應(yīng)用階段。但是本文認(rèn)為，即便是將模型在資本市場上的基礎(chǔ)應(yīng)用，對于初入金融領(lǐng)域，希望從事量化工作的人員而言，都是不無裨益的。本文正是基于該一目的，立足于這一模型，整體框架如下所示:
　　在文章的緒論部分，會涉及選題背景的論述，期權(quán)定價模型的文獻綜述，對Levy過程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進行簡述，從而為下文中的推導(dǎo)論證提供理論依據(jù);
　　在文章的第二部分，我們論

6、述了指數(shù)Levy過程中定價理論的兩大發(fā)展方向:跳躍擴散模型以及無限純跳模型，包括NIG，VG以及CGMY模型，并且，本文推導(dǎo)了指數(shù)Levy過程的一般金融衍生資產(chǎn)定價公式，在此基礎(chǔ)上，引申出CGMY模型，從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)格推導(dǎo)了基于CGMY模型的對數(shù)股價定價公式以及歐式看漲期權(quán)定價公式。對于國內(nèi)普遍存在的公式“拿來主義”而言，本文認(rèn)為，數(shù)學(xué)推導(dǎo)是一個很好的思維邏輯的訓(xùn)練，特別是在金融實踐方面，需要抱著更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度;
　　在文章的第三

7、部分，本文從量化手段的角度入手，由于CGMY模型概率密度函數(shù)復(fù)雜難解，但具有簡單的特征函數(shù)形式，因此，基于信號理論的傅里葉轉(zhuǎn)換以及優(yōu)化算法下的快速傅里葉轉(zhuǎn)化具有很好的適用性，此點應(yīng)用在眾多國內(nèi)外文獻中已經(jīng)得到了很有效的證實。本文在此部分著重推導(dǎo)了傅里葉轉(zhuǎn)換以及快速傅里葉轉(zhuǎn)換應(yīng)用在基于CGMY模型上的定價公式，并且運用辛普森法則，提高數(shù)值積分離散化的精度，推導(dǎo)給出適于MATLAB編程的最終公式;
　　第四部分為本文的實證部分，本文選

8、取S&P500股指歐式看漲期權(quán)在2014年2月20日24時，基于不同到期日以及行權(quán)價格的期權(quán)價格，對模型與該歷史數(shù)據(jù)的擬合效果進行分析:本文使用的是非線性最小二乘法以及梯度逼近算法下的極值求解的方法，在具體參數(shù)估計上，是運用雙樣本的Kolmogorov-Smimov檢驗，通過擬合基于參數(shù)值的期權(quán)價格和真實市場價格的同分布情況來檢驗參數(shù)值。在此基礎(chǔ)上，為了對比出模型的優(yōu)越性，本文同時選取了同為純粹跳躍模型的NIG以及VG模型，經(jīng)典的B-S