27742.扭曲剛性方程解的水平集的凸性估計

1、扭曲剛性方程解的水平集的凸性估計研究生姓名:王楠學(xué)科、專業(yè):數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向:微分幾何指導(dǎo)教師:王培合副教授完成時間:2014年4月曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文扭曲剛性方程解的水平集的凸性估計摘要方程的解的幾何性質(zhì)是橢圓型偏微分方程中的基本問題之一而凸性作為幾何對象的一個重要特征長期以來都是橢圓型偏微分方程中重要的研究主題.SaintVenant扭轉(zhuǎn)問題是材料力學(xué)和彈性力學(xué)中常見的問題而解決SaintVenant扭轉(zhuǎn)問題的關(guān)鍵就是求解

2、它的應(yīng)力函數(shù)所滿足的偏微分方程.SaintVenant扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)用的范圍很廣小到螺絲釘和金屬絲的扭轉(zhuǎn)大到工程構(gòu)件和橋梁建筑的扭轉(zhuǎn)都和人們的日常生活密切相關(guān).因此研究SaintVenant扭轉(zhuǎn)問題有著重要的意義及必要性.而本文所研究的對象就是與SaintVenant扭轉(zhuǎn)問題有關(guān)的一個方程.水平集的凸性是一個非常精細(xì)的問題本文對方程Δ=2的解的水平集的凸性作了一系列的研究.首先說明方程Δ=2的解的水平集是凸的然后利用常秩定理說明方程Δ=2的

3、解的水平集是嚴(yán)格凸的從而對方程Δ=2的解的水平集做一個定量估計.最后一部分是本文最核心的部分主要說明()=min1log|?|2是凹的.本文主要的定理表述如下：定理1.1.設(shè)Ω是2中一有界的光滑區(qū)域∈4(Ω)??2(Ω)且是橢圓偏微分方程Δ=2在Ω中的一個解.另設(shè)在區(qū)域Ω上有|?|?=0并且的水平集沿外法向?嚴(yán)格凸.進(jìn)一步可設(shè)是的水平集的曲率.那么函數(shù)|?|5在Ω上達(dá)到極小值.定理1.2.設(shè)Ω是2中有界的光滑區(qū)域∈4(Ω)??2(Ω)為