一類橢圓偏微分方程解的水平集的高斯曲率估計.pdf

1、凸性作為一個重要的幾何特征，長期以來一直是橢圓偏微分方程研究中的重要主題．本文的主要研究對象是橢圓偏微分方程解的水平集的凸性．利用經(jīng)典的極大值原理，本文給出了p-調(diào)和函數(shù)水平集高斯曲率的最佳正下界估計，也給出了Rn中極小曲面水平集高斯曲率的最佳正下界估計和一類半線性方程解的水平集高斯曲率的正下界估計．另一方面，本文還研究了p-調(diào)和函數(shù)水平集的高斯曲率關(guān)于函數(shù)高度的凹性．具體地說，本文的主要結(jié)果如下．
　　 Ⅰ．p-調(diào)和函數(shù)水平集

2、高斯曲率的正下界估計
　　 定理0.0.1．設(shè)Ω(C)Rn(n≥2)是一個有界光滑區(qū)域，u∈C4(Ω)∩C2((Ω))是定義在Ω上的p-調(diào)和函數(shù)，即u滿足p-調(diào)和方程
　　 div(|▽u|p-2▽u)=0inΩ.
　　 設(shè)1＜p＜+∞，在(Ω)上|▽u|≠0．記u的水平集的高斯曲率為K.若u的水平集相對于梯度▽u的方向是嚴格凸的，那么我們有下面的論斷．
　　 情形1:若n≥2，1＜p＜+∞，則函數(shù)|▽u

3、|n+1-2pK在邊界上取到最小值．
　　 情形2:若n=2，1＜p＜+∝或n≥3，1+2/n≤p≤n，則函數(shù)|▽u|1-pK在邊界上取到最小值．
　　 情形3:若n=2,3/2≤p≤3；n=3，2≤p＜+∞或n≥4，p=n+1/2，則函數(shù)K在邊界上取到最小值．
　　 根據(jù)定理0.0.1，我們可以得到p-調(diào)和函數(shù)水平集高斯曲率的正下界估計．
　　 推論0.0.2．設(shè)Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中有界光滑凸區(qū)

4、域，并且Ω1(C)Ω0.設(shè)u滿足下述Dirichlet問題
　　 ({)div(|▽u|p-2▽u)=0inΩ=Ω0\(Ω)1,u=0on(a)Ω0，u=1on(a)Ω1，其中1＜p＜+∞．記u的水平集的高斯曲率為K.那么我們有下面的曲率估計．
　　 情形1a:若1＜p≤n+1/2，minΩK≥min(a)ΩK（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|/）n+l-2p．
　　 情形1b:若n+1/2＜p

5、＜+∞，minΩK≥min(a)ΩK（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|/）2p-n-1．
　　 情形2:若n=2，1＜p＜+∞;或n≥3，1+2/n≤p≤n，minΩK≥min(a)ΩK（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|/）p-1．
　　 情形3:若n=2,3/2≤p≤3;n=3，2≤p＜+∞或n≥4，p=n+1/2，minΩK≥min(a)ΩK．
　　 特別地，對于調(diào)和函數(shù)，

6、我們有下面的命題．
　　 命題0.0.3．設(shè)Ω是Rn(n≥2)中的區(qū)域，u是定義在Ω上的調(diào)和函數(shù)，并且u在Ω內(nèi)沒有臨界點，記u的水平集的高斯曲率為K．定義函數(shù)(Ψ)=|▽u|-1K.設(shè)u的水平集相對于梯度▽u的方向是嚴格凸的．那么，在模掉梯度項▽(Ψ)的意義下，函數(shù)(Ψ)是Ω上的上調(diào)和函數(shù)，即成立下面的微分不等式△(Ψ)≤C|▽(Ψ)|inΩ，其中正常數(shù)C依賴于n和‖u‖c3(Ω)．
　　 Ⅱ.極小曲面方程解的水平集的高

7、斯曲率正下界估計
　　 定理0.0.4．設(shè)Ω是Rn（n≥2）中的有界光滑區(qū)域，u∈C4(Ω)∩C2((Ω))滿足下述極小曲面方程div（▽u/(1+|▽u|2)）=0inΩ(C)Rn．設(shè)在(Ω)上|▽u|≠0．記u的水平集的高斯曲率為K.若u的水平集相對于梯度▽u的方向是嚴格凸的，那么我們有下面的結(jié)論．
　　 (i)當n=2時，函數(shù)（|▽u|2/1+|▽u|2）-1/2K在邊界上取到最大值和最小值．
　　 (ii

8、)當n≥3，并且θ=-1/2或θ≥n-3/2時，函數(shù)（|▽u|2/1+|▽u|2）θK在邊界上取到最小值．
　　 類似地，我們可以得到極小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估計．
　　 推論0.0.5．設(shè)Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中的有界光滑凸區(qū)域，并且(Ω)1(C)Ω0.記Ω=Ω0\(Ω)1.設(shè)u滿足Dirichlet問題({)div(▽u/(1+|▽u|2))=0inΩ，u=0on(a)Ω0，u=1on(a)Ω1．<

9、br>　　 記u的水平集的高斯曲率為K．那么，我們有下述估計minΩK≥（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|）(1+min(a)Ω0|▽u|2)/(1+max(a)Ω1|▽u|2)min(a)ΩK．
　　 Ⅲ.半線性方程解的水平集的高斯曲率正下界估計
　　 定理0.0.6．設(shè)Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑區(qū)域，u∈C4(Ω)∩C2((Ω))滿足半線性方程△u=f(x，u，▽u)inΩ，其中f≥0，f∈C

10、2(Ω×R×Rn)．設(shè)在(Ω)上|▽u|≠0．記u的水平集的高斯曲率為K.設(shè)u的水平集相對于梯度▽u的方向是嚴格凸的．為表述方便，我們記下述兩個斷言分別為(A1)和(A2)，即
　　 (A1)函數(shù)|▽u|-2K在邊界上取到最小值．
　　 (A2)函數(shù)|▽u|n-1K在邊界上取到最小值．那么我們有如下結(jié)論，
　　 情形1:f=f(u)．當fu≥0時，(A1)成立;當fu≤0時，(A2)成立．
　　 情形2:

11、f=f(x)．如果映射F∶(0，+∞)×Ω→R，(t，x)(→)t3f(X)是凸的(當f＞0時，等價于f-1/2是凹的)，那么(A2)成立．
　　 情形3:f=f(x，u)．設(shè)對每一個固定的u∈(0，1)，映射Fu∶(0,+∞)×Ω→R,(t,x)(→)t3f(x，u)是凸的．如果fu≤0，那么(A2)成立．
　　 情形4:f=f(u，▽u)．設(shè)對每一個固定的u∈(0，1)，映射Fu∶(0,+∞)×Sn-1→R，(t,p

12、)(→)t3f(u，p/t)是凸的．當fu≥0時，(A1)成立;當fu≤0時，(A2)成立;
　　 情形5:f=f(x，u，▽u)．設(shè)對每一個固定的u∈(0，1)，映射Fu∶(0,+∞)×Ω×Sn-1→R,(t,x,p)(→)t3f(X，u，p/t)是凸的．當fu≤0時，(A2)成立．
　　 推論0.0.7．設(shè)Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中的有界光滑凸區(qū)域，并且(Ω)1(C)Ω0.記Ω=Ω0\Ω1.設(shè)u滿足Dirichle

13、t邊值問題△u=f(u)inΩ，u=0on(a)Ω0，u=1on(a)Ω1，這里f∈C2(R)，單調(diào)遞增，并且f(0)=0．記u的水平集的高斯曲率為K.那么，我們有下述估計minΩK≥（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|）2min(a)ΩK．
　　 Ⅳ．p-調(diào)和函數(shù)水平集的高斯曲率關(guān)于函數(shù)高度的凹性
　　 定理0.0.8.設(shè)u滿足Dirichlet問題({)div(|▽u|p-2▽u)=0inΩ=Ω0＼(

14、Ω)1,u=0on(a)Ω0，u=1onaΩ1，其中Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中的有界光滑嚴格凸區(qū)域，并且(Ω)1(C)Ω0，1＜p＜+∞．對t∈(0，1)，記Ωt={x∈Ω∶u(X)=t)．設(shè)u的水平集的高斯曲率為K.對t∈[0，1]，定義函數(shù)f(t)=minx∈Ω（|▽u|n+1-2pK）1/n-1(x).那么，f(t)是區(qū)間[0，1]上的凹函數(shù)．即對任意的x∈Ωt，我們有下面的不等式(|▽u|n+1-2pK)1/n-1(X)≥（1