一類反射倒向隨機微分方程解的性質(zhì)及相應(yīng)的偏微分方程.pdf

1、線性的倒向隨機微分方程是由Bismut在1973年研究隨機最優(yōu)控制的最大值原理時首次引入的。1990年，Pardoux和Peng首先證明了系數(shù)滿足Lipschitz條件的非線性倒向隨機微分方程解的存在唯—性.1992年，著名經(jīng)濟學(xué)家Duffle和Epstein也獨立的地引入了一類特殊類型的倒向隨機微分方程用以刻畫金融中的遞歸效用函數(shù).隨后，學(xué)者們進(jìn)一步的研究了不同條件下這類方程的可解性及相關(guān)性質(zhì)，并廣泛應(yīng)用于數(shù)理金融、隨機控制和經(jīng)濟管理

2、等領(lǐng)域，使倒向隨機微分方程理論得到了進(jìn)一步的完善和發(fā)展. 1997年，E1Karoui，Kapoudjian，Pardoux，Peng和Quenez首先提出了反射倒向隨機微分方程的定義.在原方程的基礎(chǔ)上增加一個增過程Kt，產(chǎn)生一個向上的“推力”使得方程的解恰好能保持在一給定過程(稱為邊界或障礙)的上方，且“推力”最小. 文章在Lipschitz條件下證明了解的存在唯一性結(jié)果并指出，在Markov情形下，該類方程的解可以表

3、示為一類拋物型偏微分方程唯一的粘性解.1997年Matoussi在系數(shù)是線性增長的情形下證明了反射倒向隨機微分方程最大(最小)解的存在性.隨后，Kobylanski，Lepeltier，Quenez和torres等人指出，在系數(shù)滿足關(guān)于z二次增長條件下該類方程的解存在，但是在其文章中終端條件必須是有界的. 倒向隨機微分方程在金融中有廣泛的應(yīng)用.我們看到，備市場模型下未定權(quán)益在某一時刻T的期望收益可以用一個動態(tài)投資組合來復(fù)制，其定

4、價過程恰好可以由一個倒向隨機微分方程的解Y來描述，對應(yīng)的另一個過程Z則是相應(yīng)的對沖投資組合.在實際應(yīng)用中，某些情形下需要對財富過程進(jìn)行必要的限制，這時就可以用帶反射的倒向隨機微分方程來描述，使方程的解位于給定的范圍內(nèi).金融市場中許多重要的衍生產(chǎn)品均可以通過隨機微分方程給出理論價格.倒向隨機微分方程的另—個重要應(yīng)用是給出了一類偏微分方程的概率解釋.1991年，Peng利用倒向隨機微分方程對一類二階擬線性拋物型偏微分方程做出了概率解釋，將著

5、名的Feynman-Kac公式推廣到非線性的情形，為偏微分方程的發(fā)展和應(yīng)用提供了更廣闊的空間. 本文主要研究了在終端條件無界且系數(shù)關(guān)于z二次增長條件下該類方程解的性質(zhì)以及與偏微分方程的關(guān)系，同時還考察了一類與正向隨機微分方程完全耦合的反射倒向隨機微分方程解的存在性.以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論. 第一章：簡要介紹本文中所討論問題的背景及總體思路. 第二章：研究終端條件無界且系數(shù)關(guān)于z二次增長條件下反射倒向隨機微分方

6、程解的性質(zhì).我們首先給出了解的存在性，進(jìn)一步的，在f關(guān)于z是凸函數(shù)的假定下，采用與Briand和Hu[12]文中類似的方法，通過引入?yún)?shù)θ∈(0，1)進(jìn)而考察Yt-θY1t得到了方程解的存在唯一性結(jié)果. 定理2.1.2.(存在性)如果假設(shè)條件2.1.1-2.1.3成立，則以(ζ，f，L)為參數(shù)的反射倒向隨機微分方程至少存在一個解，即:至少存在一個三元組(Y,Z，K)且Y∈S2(0，T)，K∈A2(0，T)，進(jìn)一步的，如果飯設(shè)條件

7、2.1.4也成立，則Z∈H2d(0，T). 定理2.1.3.(唯一性)如果假設(shè)條件2.1.1-2.1.5成立，則上述反射倒向隨機微分方程存在唯一的解(Y,Z,K). 在解的存在唯一性基礎(chǔ)上，本章繼續(xù)探討了解的穩(wěn)定性，得到如下結(jié)果： 第三章：研究了由反射倒向隨機微分方程的解所定義的函數(shù)與拋物型偏微分方程的障礙問題之間的關(guān)系.運用反證法思想，我們首先得到了偏微分方程粘性解的存在性結(jié)果： 定理3.2.1.(存在

8、性)定義u(t，x)=Yt,xt,則它是如下PDE的粘性解: 在Kobylanski[41]的框架和假設(shè)下，進(jìn)一步證明了粘性解也是唯一的. 定理3.3.1.(比較定理)設(shè)假設(shè)條件3.3.1成立，則比較定理對上述PDE成立.也就是說，設(shè)u是PDE的一個連續(xù)有界的粘性下解而v是一個連續(xù)有界的粘性上解。 定理3.3.4(唯一性)設(shè)條件3.1.1-3.1.5和3.3.1成立，則上述PDE在連續(xù)有界函數(shù)類中至多存在一個粘性

9、解. 第四章：考慮如下完全耦合的帶反射的正倒向隨機微分方程系統(tǒng)這里的一個突出特征是正向方程系數(shù)中含有反射倒向方程的解變量Y.構(gòu)造迭代序列，通過證明序列的收斂性可以得到：則上述反射正倒向系統(tǒng)至少存在一組解(X，Y,Z，K)∈S2()S2()H2()S2ci。 第五章：考察一類國際實業(yè)投資和消費選擇問題.假定投資者可以將其財富投資于無風(fēng)險債券(儲蓄賬戶)以獲得固定的收益；另一方面，也可以投資于一個國際實業(yè)項目以追求有風(fēng)險的高

10、收益；同時，投資者可以以高于存款利率的水平值獲得貸款用于實業(yè)項目.設(shè)W(t)為t時刻投資者的財富總值，π(t)為投資于海外項目的財富值，則投資者的財富總值滿足如下方程: 其中l(wèi)，h是嚴(yán)格增加的凹函數(shù)，且關(guān)于C,W可微。我們希望使得期望效用達(dá)到最大化.可以證明，在這一模型假定下，經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃原理也是成立的. 結(jié)合經(jīng)典的H-J-B方程，我們得到了投資者的最優(yōu)投資策略并給出經(jīng)濟解釋.在一類特殊的期望效用函數(shù)-HARA模型下，