極限問題

1、極限問題極限時數(shù)學分析的精髓，既是重點也是難點，既需要一些常規(guī)的代數(shù)變化和一些經(jīng)驗，公式（如stolz定理，洛必達法則），還要求在解決這類型問題是能夠靈活變形，適當?shù)膽玫葍r量，無窮小量和泰勒公式。(一)一些著名的經(jīng)驗極限（1）；（2）（3）1sinlim0??xxxexxx???10)1(lim1)1(lim0???xxInx(4)(5)(6)11lim0???xexx??????xxx1)1(lim0121cos1lim20???x

2、xx(7)(8)(9)121sintanlim30???xxxx161sinlim30???xxxx0!lim???nann(10)；(11)(0為任意實數(shù))0lim?????nnInn0lim?????nnInn??(二)求極限的一些方法第一種類型（直接代入）32)12)(1()1)(1(lim121lim1221???????????xxxxxxxxxnmxxxxxxxxnnmmxnmx??????????????????11lim

3、11lim212111??第二種類型（進行一些簡單的代換變型）（n代表一個自然數(shù)）21)()()(limaxaxnaaxnnnax??????解：設x=ay，則當xa時y0代入??22320210212)1(])2)(1(!31)1(!2[lim)(lim)()()(lim??????????????????????????nnnnynnnynnnaxannyyannnannyynaayaaxaxnaax?第三種類型（利用stolz公式

4、）Stolz定理1.已知13lim)0(321sin01???????nnnnxnxnxx求證??證：事實上，因為)(311)(132???????nnxnxnnn1.12121lim1)sin11()1tan1(lim21sin21sin1121tan211tan10x1sin1tan1lim.553)6(2lim2arctan3tan2sin)sin(sinlim62arctan3tan22sin)(sinsin0x2arctan3

5、tan2sin)sin(sinlim.4000000??????????????????????????????????????????????xxxexxxxxxxxexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是原式時有當于是有時有當?shù)谖宸N類型（利用洛必達法則注意所需條件）1coscos2sin212sincoslimsinsincoslimcos1coslimsinlim.26124sincos)sin(sin2

6、sin)cos(sin23cos)sin(sinlim12cossin)sin(sincos)cos(sinlim4sincos)sin(sinlimsincos)(sincoslim.1sinsinsin3sin0sin2sin0sin0sin0302203040???????????????????????????????????xxexexexeexxexeexxeexxeexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx