圓錐曲線 教師版

1、 - 1 - 一 橢圓 橢圓 知識(shí)要點(diǎn) 知識(shí)要點(diǎn) 1. 橢圓定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 2 1 F F、 的距離之和為常數(shù) |) | 2 ( 2 2 2F F a a ? 的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn) 2 1 F F、 叫橢圓的焦點(diǎn). 當(dāng) 2 1 2 1 2 F F a PF PF ? ? ? 時(shí), P 的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng) 2 1 2 1 2 F F a PF PF ? ? ? 時(shí), P 的軌跡不存在;

2、 當(dāng) 2 1 2 1 2 F F a PF PF ? ? ? 時(shí), P 的軌跡為 以 2 1 F F、 為端點(diǎn)的線段 2.橢圓的方程與幾何性質(zhì): 標(biāo)準(zhǔn)方程 ) 0 ( 1 2222? ? ? ? b a byax) 0 ( 1 2222? ? ? ? b a bxay性 質(zhì) 參數(shù)關(guān)系 2 2 2 c b a ? ?焦點(diǎn) ) 0 , ( ), 0 , ( c c ?) , 0 ( ), , 0 ( c c ?焦距 c 2 范圍

3、 b y a x ? ? | | , | |b x a y ? ? | | , | |頂點(diǎn) ) , 0 ( ), , 0 ( ), 0 , ( ), 0 , ( b b a a ? ?) 0 , ( ), 0 , ( ), , 0 ( ), , 0 ( b b a a ? ?對(duì)稱(chēng)性 關(guān)于 x 軸、y 軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 離心率 ) 1 , 0 ( ? ? ac e3.點(diǎn) ) , ( 0 0 y x P 與橢圓) 0 ( 1 2222?

4、 ? ? ? b a byax的位置關(guān)系: 當(dāng)1 2222? ? byax時(shí),點(diǎn) P 在橢圓外; 當(dāng)1 2222? ? byax時(shí),點(diǎn) P 在橢圓內(nèi); 當(dāng)1 2222? ? byax時(shí),點(diǎn) P 在橢圓上; 4.直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與橢圓相交 0 ? ? ? ;直線與橢圓相切 0 ? ? ? ;直線與橢圓相離 0 ? ? ?例題精講 例題精講 例 1 已知 2 1 F F、 為橢圓1 9 252 2? ? y x的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) 1

5、F 的直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)若12 2 2 ? ? B F A F ，則 AB =______________。 - 3 - [解析]在橢圓上任取一點(diǎn) P,設(shè) P( ? ? sin 3 , cos 4 ). 那么點(diǎn) P 到直線 l 的距離為： | 9 ) sin( 5 | 221 1| 12 sin 3 cos 4 |2 2 ? ? ??? ? ? ? ? ?. 2 2 ?[例 6 ] 已知橢圓C 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O ,一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)

6、為? ? 0,1 ,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形， 直線l 與 y 軸交于點(diǎn) P （0， m） ， 與橢圓 C 交于相異兩點(diǎn) A、 B， 且 PB AP 3 ? ． （1）求橢圓方程； （2）求 m 的取值范圍． 【解題思路】通過(guò) PB AP 3 ? ，溝通 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于 m 的不等式 [解析]（1）由題意可知橢圓C 為焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，可設(shè)2 22 2 : 1 ( 0)

7、y x C a b a b ? ? ? ?由條件知 1 a ? 且b c ? ，又有2 2 2 a b c ? ? ，解得 2 1 , 2 a b c ? ? ?故橢圓C 的離心率為22c e a ? ?，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：12122 ? ? x y（2）設(shè) l 與橢圓 C 交點(diǎn)為 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ? ? ? ? ?y＝kx＋m2x2＋y2＝1 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k

8、2＋2） （m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝－2kmk2＋2， x1x2＝m2－1k2＋2 ∵ AP ＝3 PB ∴－x1＝3x2 ∴? ? ? ? ?x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x2 2消去 x2，得 3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2 ＝0 整理得 4k2m2＋2m2－k2－2＝0 m2＝14時(shí)，上式不成立；m2≠14時(shí)，k2＝2－