531 常系數(shù)齊次線性微分方程組ppt

1、常系數(shù)齊次線性方程組,常系數(shù)齊次線性方程組：,關(guān)鍵：求基解矩陣,的通解為,猜想：,的通解為,定義1 矩陣指數(shù),其中E 為 n 階單位矩陣,,是矩陣 A 的m次冪。,規(guī)定,可以證明級(jí)數(shù),收斂，從而該級(jí)數(shù)和是存,在的。,在 t 的任何有限區(qū)間上是一致收斂的，和函數(shù)存在。,定義2 矩陣指數(shù)函數(shù),矩陣指數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1 如果矩陣A，B是可交換的，即 AB=BA，則,性質(zhì)2 對(duì)于任何矩陣A，,存在，且,性質(zhì)3 如果 T 是非奇

2、異矩陣，則,定理1,是方程組,矩陣,的基解矩陣且,證明,又,所以,是 的基解矩陣。,因此關(guān)鍵是求,例1 如果A是一個(gè)對(duì)角矩陣,試求出 的基解矩陣。,所以基解矩陣為,解,因此，基解矩陣就是,,,,把(43)代入(5.33)，得,即,,,,,n次多項(xiàng)式p(?)=d e t (?E-A)稱為A的特征多項(xiàng)式。 n次代數(shù)方程,稱為A的特征方程。,也稱為(5.33)的特征方程。,,注：e ?tc是(5

3、.33)的解,?是A的特征值,c是,對(duì)應(yīng)于?的特征向量.由于A的特征值是特征,方程d e t (?E-A)=0的根.又因n次方程有n個(gè)根,故A有n個(gè)特征值(不一定相同).,使得(44)有非零解的常數(shù)?稱為A的特征值。。,(5.33),有復(fù)值解 ，則其實(shí)部 與虛部 都是（5.33）的實(shí)值解.,證明：,是（5.33）的解,從而實(shí)部,虛部,都是