數(shù)值分析-第五章-常微分方程數(shù)值解法

1、圖 ５暢２令 珔 h ＝ hλ ， 則yn ＋ １ ＝ １ ＋ 珔 h ＋ １２ 珔 h ２ ＋ １６ 珔 h ３ ＋ １ ２４珔 h４ yn ．由此可知 ， 絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域在 珔 h ＝ hλ 復(fù)平面上滿足｜１ ＋ 珔 h ＋ １２ 珔 h ２ ＋ １６ 珔 h ３ ＋ １ ２４珔 h ４ ｜ ≤ １的區(qū)域 ， 也就是由曲線１ ＋ 珔 h ＋ １２ 珔 h ２ ＋ １６ 珔 h ３ ＋ １ ２４珔 h ４ ＝ e iθ所圍成的區(qū)域 ．

2、 如圖 ５暢２ 所示 ．例 22 用 Euler 法求解y′ ＝ － ５ y ＋ x ，y（ x０ ） ＝ y０ ，x０ ≤ x ≤ X ．從絕對(duì)穩(wěn)定性考慮 ， 對(duì)步長(zhǎng) h 有何限制 ？解 對(duì)于模型方程 y′ ＝ λy（λ ＜ ０ 為實(shí)數(shù)）這里 λ ＝ 抄 f 抄 y ＝ － ５ ．由｜１ ＋ hλ｜ ＝ ｜１ － ５h｜ ＜ １得到對(duì) h 的限制為 ： ０ ＜ h ＜ ０暢４ ．四 、 習(xí)題１暢 取步長(zhǎng) h ＝ ０暢２ ， 用 E

3、uler 法解初值問(wèn)題y′ ＝ － y － x y ２ ，y（０） ＝ １ ．（０ ≤ x ≤ ０暢 ６） ，２暢 用梯形公式解初值問(wèn)題y′ ＝ ８ － ３ y ，y（１） ＝ ２ ，（１ ≤ x ≤ ２） ，２ １ ２８暢 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法 ：yn ＋ １ ＝ a ０ yn ＋ a １ yn － １ ＋ a ２ yn － ２ ＋ h（b ０ y′ n ＋ b １ y′ n － １ ＋ b ２ y′ n － ２ ） ．９暢 證

4、明yn ＋ １ ＝ １３ （４ yn － yn － １ ） ＋ ２３ hy′n ＋ １是二階公式 ．１０暢 就初值問(wèn)題 y′ ＝ ax ＋ b ，y（０） ＝ ０ 導(dǎo)出改進(jìn) Euler 方法的近似解的表達(dá)式 ， 并與準(zhǔn)確解 y ＝ １２ ax ２ ＋ bx 相比較 ．１１暢 用 Adams 顯式公式作預(yù)估公式 ， Adams 隱式公式作校正公式 ， 求解初值問(wèn)題y′ ＝ － y － ２sin x ， ０ ＜ x ＜ ２ ，y（０） ＝

5、１ ，取 h ＝ ０暢 ２ ， 已知 y１ ＝ ０暢 ７８１１３８ ，y２ ＝ ０暢５３１３０７ ，y３ ＝ ０暢２６０４３５ ．１２暢 已知三階 Adams 顯式公式及截?cái)嗾`差yn ＋ １ ＝ yn ＋ h １２（２３ f n － １６ f n － １ ＋ ５ f n － ２ ） ，T１ ＝ y（ xn ＋ １ ） － yn ＋ １ ＝ ３８ h ４ y （４） （ξ １ ） ， xn － ２ ＜ ξ １ ＜ xn ＋ １和三階 Ad

6、ams 隱式公式及截?cái)嗾`差yn ＋ １ ＝ yn ＋ h １２（５ f n ＋ １ ＋ ８ f n － f n － １ ） ，T２ ＝ y（ xn ＋ １ ） － yn ＋ １ ＝ － １ ２４ h ４ y （４） （ξ ２ ） ， xn － １ ＜ ξ ２ ＜ xn ＋ １ ，試求其預(yù)估 — 改進(jìn) — 校正系統(tǒng) ．１３暢 設(shè)有常微分方程初值問(wèn)題 y′ ＝ f（ x ，y） ，y（ x０ ） ＝ y０ 的單步法yn ＋ １ ＝ yn ＋