若干非線性問題的研究.pdf

1、在第一章中，討論了Caristi不動點定理與Banach壓縮映射原理的等價性.已有的研究結果表明，Caristi不動點定理與著名的Ekeland變分原理等價，同時，它們都等價于空間的完備性，另外，在一定條件下，Banach壓縮映射原理與空間的完備性也是等價的，因此本文將考慮Caristi不動點定理與Banach壓縮映射原理的等價性.由定理的條件不難推出，Banach壓縮映射一定是滿足Caristi不動點定理的映射，但反之顯然是不一定成立

2、的，因此，值得研究的問題是，滿足Caristi不動點定理條件的映射在什么條件下構成Banach壓縮映射.本章證明了，在一定條件下，存在某一等價度量d*，使得滿足Caristi不動點定理條件的映射F關于d*是Banach壓縮映射，因此，Caristi不動點定理在一定條件下與Banach壓縮映射原理等價. 在第二章中，討論了與Ekeland變分原理相關的一些問題.鑒于Ekeland變分原理的重要性，因此討論它的穩(wěn)定性是非常必要的.E

3、keland變分原理的穩(wěn)定性是由Attouch和Riahi建立的，這些結論是建立在集合收斂的概念的基礎上的：即Painleve-Kuratowski收斂；Mosco收斂；有界Hausdorff收斂以及更進一步的圖收斂(當考慮集合是函數的圖時). 在本文中，我們將用這些方法討論在完備的度量空間中，與Ekeland變分原理相關問題的穩(wěn)定性.在某種緊性條件或自反Banach空間下，作者證明了ε-解是下半連續(xù)的，而我們可以給出一個例子說

4、明：在Ekeland變分原理中，Banach空間下，按照一致度量，ε-解并不總是下半連續(xù)的，并證明了ε-解在一般的度量空間下是幾乎下半連續(xù)的. 另外，史樹中證明了Caristi不動點定理與Ekeland變分原理是等價的，并且由證明過程可以知道Ekeland變分原理中的ε-極值點包含在Caristi不動點定理中對應映射的不動點集中，鑒于前面分析的Ekeland變分原理中集值映射ε-解的性質，因此在前面的基礎上，也討論了Carist

5、i不動點定理中不動點集的穩(wěn)定性質. 另外一個問題是討論Ekeland變分原理的推廣.我們知道Ekeland變分原理中的映射是一個廣義實值泛函，但在實際中所考慮的問題往往是多方面的，即是向量值的，因此另外一個值得考慮的問題是：能否將Ekeland變分原理中的泛函F推廣為向量值函數.于是本文就考慮這個問題，試著將Ekeland變分原理中的泛函F推廣為向量值映射. 在第三章中，討論了集值映射向量優(yōu)化問題解的連續(xù)性質.向量優(yōu)化理

6、論已被廣泛的應用到了許多領域，國內外對向量優(yōu)化問題的研究也有許多的成果，這些成果主要是研究向量值函數最優(yōu)解的存在性與穩(wěn)定性，其中包括有效解，弱有效解以及加權解的單值映射向量優(yōu)化問題解的存在性與穩(wěn)定性，因此本文就考慮了集值映射向量優(yōu)化問題解的連續(xù)性質. 在第四章中，討論了變分不等式解的存在性，我們知道變分不等式的解不一定唯一，那么變分不等式的解集是否穩(wěn)定?即當構成變分不等式的映射發(fā)生微小變化時，其解集是否也產生微小變化?有例子表明

7、這個結論是否定的，已有的文獻中討論了擬變分不等式解集的本質連通區(qū)的存在問題和極小本質集的存在問題. 我們也知道，研究解集的本質集和本質連通區(qū)，很大程度上是處于在多解情形時對解集進行選擇和精煉.為進一步有效地選擇和精煉有關的解集，Xiang提出了一些具有進一步精煉與選擇意義的本質點和本質集的概念，即強本質點和強本質集的概念.因此本文就從精煉與選擇的意義下，進一步討論了擬變分不等式解集的極小強本質集和本質連通區(qū)的存在問題，證明了每個