幾類非線性發(fā)展方程的精確行波解的研究.pdf

1、非線性現(xiàn)象是自然界最普遍的現(xiàn)象，是自然界的本質(zhì).非線性系統(tǒng)的提出和研究，促使不同學(xué)科相互滲透融會(huì)，大批新興學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生，逐步誕生了探討復(fù)雜性現(xiàn)象的非線性科學(xué)。非線性科學(xué)主要包括研究孤子理論、混沌理論、分形理論和耗散結(jié)構(gòu)理論等等，以及這些理論在其他相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。孤波理論與應(yīng)用是非線性科學(xué)研究的熱門課題之一。孤立子相關(guān)性質(zhì)的研究在揭示波的傳播規(guī)律、準(zhǔn)確解釋自然現(xiàn)象和科學(xué)應(yīng)用相關(guān)技術(shù)等方面均具有極大的科學(xué)研究價(jià)值，非線性發(fā)展方程的研

2、究又離不開孤立子理論.大量的非線性問題的研究和解決最終都?xì)w結(jié)為求解非線性偏微分方程（組）的問題.非線性偏微分方程（組）的求解要遠(yuǎn)比線性偏微分方程（組）的求解困難得多，很難用統(tǒng)一的方法對(duì)前者加以處理.由此，求非線性偏微分方程（組）精確解的工作，就顯示了很重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.
　　 本文基于此目的，在歸納和總結(jié)了現(xiàn)有各種主要的精確求解非線性發(fā)展方程方法的基礎(chǔ)上，研究了一類具有實(shí)際應(yīng)用物理背景的非線性波動(dòng)方程，如mBBM方程、MCH

3、方程，Klein-Gardner方程，組合KdV-mKdV方程、廣義的BBM方程等.把一些經(jīng)典的研究方法加以推廣和改進(jìn)，借助于符號(hào)計(jì)算和數(shù)學(xué)機(jī)械化的方法，來研究這類非線性波動(dòng)方程的行波解，不但獲得了已有的結(jié)果，而且得到了一些新的結(jié)果.通過研究波動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，從定性角度數(shù)形結(jié)合分析，尋求非線性波動(dòng)方程的解.
　　 全文共分七章.第一章介紹了非線性波動(dòng)方程提出的研究背景、進(jìn)展和現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究內(nèi)容.
　

4、　 第二章介紹了幾個(gè)重要的求解非線性波動(dòng)方程精確解的方法，并簡要闡述了本文主要的求解非線性波動(dòng)方程的方法以及與本文相關(guān)的基本概念和基本原理.
　　 第三章借助于首次積分法，對(duì)常見的mBBM方程、簡化形式的MCH方程，Klein-Gardner方程，組合KdV-mKdV方程，進(jìn)行了全面的分析，得到了一些精確解，并結(jié)合簡單的直接積分，以及Jacobi橢圓正弦函數(shù)展開法，比較了這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)。
　　 第四章應(yīng)用(G'/G)展

5、開法，對(duì)以上討論的簡化形式的MCH方程，Klein-Gardner方程，組合KdV-mKdV方程，再次作進(jìn)一步的研究，得到了這些方程的雙曲函數(shù)形式、三角函數(shù)形式的解，豐富了這些方程的討論。這類方法的應(yīng)用日益豐富，甚至對(duì)一些重要的離散的孤波方程也一樣適用.
　　 第五章借助Wazwaz的獨(dú)創(chuàng)性的工作，結(jié)合著名的Hirota法，用一種簡單的方式，有效地尋求了(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程(簡記為ZK(m，n，k

6、)、破裂孤子方程、Potential Kadomtsev-Petviashvili(PKP)方程以及一個(gè)五階色散方程的解，并且包含多重孤子解和奇異孤子解。本文還嘗試?yán)猛逌y(cè)試法(homoclinictest method)，討論Hirota法的一些延伸工作。
　　 第六章受啟發(fā)于Kuru等人利用二階微分算子的分解理論，直接將Wazwaz等人討論過的幾類廣義BBM方程以及兩個(gè)修正的Boussinesq方程，經(jīng)過行波變換后，通過W