有限P-群的中心自同構群.pdf

1、設G為有限群，M和N均為G的正規(guī)子群，本文用CAutG(G/M，N)表示G的既中心化G/M又中心化N的全部自同構所構成的群.在自同構群的研究中，一個基本而重要的問題是確定CAutG(G/M，N)的結構.2007年Attar證明了:如果G為有限非交換p-群，則CAutG(G/Z(G),Z(G))=Inn G當且僅當G的冪零類為2且Z(G)是循環(huán)群.2008年Yadav將其推廣為:
　　如果G是有限非交換p-群且M是G的一個中心子群，

2、則CAutG(G/M，Z(G))=Inn G當且僅當G的冪零類為2，G'≤M且M是循環(huán)群.
　　注意到G的內自同構群InnG同構于商群G/Z(G)，故上述兩個定理本質上給出了當M或N為特殊子群時CAutG(G/M，N)的結構描述.本文在更為一般的條件下確定了CAutG(G/M，N)的結構，所得結果推廣了Attar和Yadav定理.本文中的主要結論如下:
　　定理1.設G為任意有限群，M和N均為G的正規(guī)子群且M≤Z(N)，則C

3、AutG(G/M，N)(≌)Der(G/N，M).其中Der(G/N，M)表示從G/N到M的所有導子構成的交換群.
　　從定理1出發(fā)可推導出以下有用的結論.
　　推論1.設G為任意有限群，M，N均為G的正規(guī)子群且M≤N∩Z(G)，則CAutG(G/M，N)(≌)Hom(G/N，M).
　　應用推論1證明了本文的第二個主要結果.
　　定理2.設G為有限p-群，M，N均為G的正規(guī)子群且M≤N∩Z(G)，則CAutG(

4、G/M，N)(≌)G/N的充要條件是G'≤N，M為循環(huán)群，且exp(G/N)≤expM.
　　使用定理2即可推出Attar和Yadav定理.
　　推論2.如果G為有限非交換p-群，則CAutG(G/Z(G),Z(G))=InnG當且僅當G的冪零類為2且Z(G)是循環(huán)群.
　　推論3.如果G是有限非交換p-群且M是G的一個中心子群，則CAutG(G/M，Z(G))=InnG當且僅當G的冪零類為2，G'≤M且M是循環(huán)群.<