兩類風(fēng)險(xiǎn)模型的研究.pdf

1、本學(xué)位論文主要研究兩類風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)理論.在二十世紀(jì)末，無窮可分分布的研究奠定了Lévy過程的理論基礎(chǔ).隨著Markov理論和隨機(jī)游動(dòng)理論的發(fā)展，Lévy過程的理論得到了進(jìn)一步的完善，特別是譜正或譜負(fù)的Lévy過程的性質(zhì)得到了廣泛研究.在第一章中，首先討論了一般Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型的折扣期望，得到了所滿足的積分-微分方程和積分方程.然后，我們從其它的角度研究了破產(chǎn)概率以及幾個(gè)精算量的聯(lián)合分布.主要結(jié)果如下：定理1.2.1折扣期望Φ(u)=E

2、[e-δTω(U(T_)，|U(T)|)1(T＜∞)|U(0)=u]，對u＞0滿足1/2σ2φ"(u)+bφ′(u)+∫R(φ(u-x)-φ(u)+φ′(u)xI{|x|＜1})v(dx)=δφ(u).定理1.3.1對u＞0，折扣期望滿足Φ(u)=(Φ*G*G1)(u)+(G*H1)(u)+σ2/2Φ(0)G(u)-(G*H)(u)，其中ρ是推廣的Lundberg方程的正根；φ(0)=ω(0，0)；G(u)=2/σ2e-(ρ+2c/σ2

3、)u；G1(u)=eρu∫u+∞e-ρxv(dx)；H1(u)=eρu∫u+∞e-ρxω(x)dx；H(u)=∫+∞uφ(x)G2(u-x)dx，G2(u)=eρu∫u-∞e-ρxv(dx).定理1.3.2φ(u)=E[ω(U(T_)，|U(T)|)1(T＜∞)|U(0)=u]有如下的表達(dá)式φ(u)=+∞∑n=0(g*n*k*n*m)(u)，其中g(shù)(u)=2/σ2e-2c/σ2u；h1(u)=∫u+∞ω(x)dx；k(u)=g1(u)+

4、~λeαu，g1(u)=∫u+∞v(dx)；m(u)=(h1*g)(u)+σ2/2φ(0)g(u)+~λ^φ(α)∫u0eαxg(u-x)dx.定理1.4.1若調(diào)節(jié)系數(shù)R存在，破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式ψ(u)≤e-Ru，u≥0.定理1.4.2若調(diào)節(jié)系數(shù)R存在，破產(chǎn)概率滿足ψ(u)=e-Ru/E[exp(-RUT))|T＜∞]，u≥0.定理1.5.1如果(Jt)t≥0的正跳過程是復(fù)合Poisson過程，破產(chǎn)概率可表示為ψ(u)=

5、+∞∑n=1∫u-∞Q(0，dx1)∫u-∞Q(dx1，dx2)…∫u-∞Q(dxn-2，dxn-1)∫+∞uQ(dxn-1，dxn).定理1.5.2破產(chǎn)時(shí)刻T和破產(chǎn)時(shí)赤字|UT|的聯(lián)合分布可表示為F1(u,y)=+∞∑n=1∫u-∞Q(0，dx1)∫u-∞Q(dx1,dx2)…∫u-∞Q(dxn-2，dxn-1)∫u+yuQ(dxn-1，dxn)，u≥0，y＞0.定理1.5.3破產(chǎn)時(shí)刻T和破產(chǎn)前的瞬時(shí)盈余UT-的聯(lián)合分布可表示為F2(

6、u,x)=1(ux)/λ∫+∞u∫x0-u+x0v(dz)Q(0,dx0)+1/λ+∞∑n=2∫u-∞Q(0，dx1)∫u-∞Q(dx1，dx2)…∫uu-xQ(dxn-2,dxn-1)∫+∞u∫xn-u+x0v(dz)Q(dxn-1,dxn)，其中u≥0，x＞0.定理1.5.4破產(chǎn)時(shí)刻T，破產(chǎn)前的瞬時(shí)盈余UT-和破產(chǎn)時(shí)赤字|UT|三者的聯(lián)合分布可表示為F(u,x,y)=1(u＜x)/λ∫u+yu∫x0-u+x0v(dz)Q(0,dx0

7、)+1/λ+∞∑n=2∫u-∞Q(0，dx1)∫u-∞Q(dx1，dx2)…∫uu-xQ(dxn-2，dxn-1)∫uu+y∫0xn-u+xv(dz)Q(dxn-1，dxn)，其中u≥0，x＞0，y＞0.在第二章中，我們主要討論了一般的更新風(fēng)險(xiǎn)模型.通過階梯時(shí)刻和階梯高度，研究了有限時(shí)間的生存概率以及破產(chǎn)前的瞬時(shí)盈余，破產(chǎn)時(shí)的赤字等幾個(gè)精算量的聯(lián)合分布.主要結(jié)果如下：定理2.2.1有限時(shí)間的生存概率(-ψ)(u，t)有如下的表達(dá)式(-ψ

8、)(u，t)=+∞∑n=0[P*n(u,t)-∫t0P*n(u,t-s)dP2(s)]，u,t≥0.定理2.2.2ψ(u，t，x，y)=P(τ(u)≤t，X+(u)≤x，Y+(u)＞y)滿足下面的積分方程ψ(u，t，x，y)=I(u＜x)ψ(0，t，x-u，y+u)+∫u0∫t0tψ(u-v，t-s，x，y)dP(v，t)，u，t，x，y≥0；積分方程的解為ψ(u,t,x,y)=∫u(u-x)+∫t0ψ(0,t-s,x-u+v,y+u-

9、v)d~P(v,s)，其中~P(v，s)=∑+∞n=0P*n(u，s)，(u-x)+=max(u-x，0).定理2.2.3ψ(u，t，x，y，z)=P(τ(u)≤t，X+(u)≤x，Y+(u)＞y，Z+(u)＞z)滿足下面的積分方程ψ(u，t，x，y，z)=I(u＜x)ψ(0，t，x-u，y+u，z+u)+∫u0∫t0ψ(u-v，t-s，x，y，z)dP(v，t)；并且它的解為ψ(u，t，x，y，z)=∫u(u-x)+∫t0ψ(0,t-