非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的解的熄滅和支集收縮等性質(zhì).pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散方程作為一類重要的拋物方程，來源于自然界中廣泛存在的擴(kuò)散現(xiàn)象。滲流理論、相變理論、生物化學(xué)以及生物群體動(dòng)力學(xué)等理論都提出了此類方程。四十多年來，這類方程吸引了國內(nèi)外眾多的數(shù)學(xué)工作者，并且取得了巨大的成就。在適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件下，許多學(xué)者對(duì)方程的解的性質(zhì)作了大量的研究。特別地，對(duì)于由擴(kuò)散項(xiàng)、吸收項(xiàng)、對(duì)流項(xiàng)、邊界項(xiàng)，及其經(jīng)由他們所形成的各種不同的耦合關(guān)系產(chǎn)生的非線性所導(dǎo)致的問題的解的奇性引起了眾多學(xué)者的興趣。本文將研究應(yīng)用科學(xué)中提出的

2、幾類重要的非線性擴(kuò)散方程的解的有限時(shí)間熄滅、支集瞬間收縮以及自由邊界的整體存在等性質(zhì)。 第二章中，我們將研究發(fā)展的p-Laplace方程的幾類初邊值問題的解的熄滅。對(duì)于具有非局部源或者局部源項(xiàng)的擴(kuò)散方程的齊次Dirichlet邊值問題，我們運(yùn)用能量方法和新建立的比較原理，證明問題的解在有限時(shí)刻熄滅的充要條件。我們證明在快速擴(kuò)散的情形下，如果擴(kuò)散作用強(qiáng)于源的作用，那么在初值較小的情況下問題的解會(huì)在有限時(shí)間熄滅。并且在證明過程中，我

3、們將得出熄滅時(shí)刻的上界估計(jì)。對(duì)于具有非局部源項(xiàng)的問題，我們還將建立解的局部存在性理論。最后我們研究發(fā)展的p-Laplace方程的在空間R<'N>上的Cauchy問題的解的熄滅。運(yùn)用比較原理和構(gòu)造上下解，證明問題的解熄滅的充要條件，揭示在Hamack不等式不成立時(shí)熄滅現(xiàn)象發(fā)生的一個(gè)臨界指數(shù)，它表明了初值在遠(yuǎn)距離處的衰減性態(tài)對(duì)解的熄滅的影響。 在第三章中，我們將考察幾類具有非局部源項(xiàng)和吸收項(xiàng)的拋物方程的Neumann邊值問題。首先，

4、對(duì)于具有內(nèi)部吸收和邊界源的情況，運(yùn)用新建立的比較原理，我們將改進(jìn)已有的關(guān)于熄滅的充分條件的結(jié)論，證明在源作用較強(qiáng)的情況下熄滅仍可能發(fā)生。其次，對(duì)吸收項(xiàng)分別在內(nèi)部或者邊界的情況，通過與已有的關(guān)于解的爆破的結(jié)論相比較，一方面，在具有內(nèi)部吸收項(xiàng)的情況下，我們將證明，吸收比內(nèi)部源的作用強(qiáng)時(shí)，問題的解可能會(huì)在有限時(shí)間熄滅。然而，在具有邊界吸收項(xiàng)情況下，根據(jù)熄滅的定義，用檢驗(yàn)函數(shù)法，我們將證明，解不會(huì)在有限時(shí)間熄滅，但是若邊界吸收比邊界源的作用強(qiáng)時(shí)

5、，問題的解在邊界上的取值將在有限時(shí)刻恒為零。 第四章中，我們考慮一類具有對(duì)流項(xiàng)和變化系數(shù)的拋物方程，并研究它的解的支集的瞬間收縮性質(zhì)，即不管初值的支集如何，問題的解的支集可能在任何時(shí)刻都是緊的。這類具有對(duì)流項(xiàng)的非線性擴(kuò)散方程，類似于著名的統(tǒng)計(jì)力學(xué)方程，具有重要的物理意義。我們先證明問題解的局部存在性和唯一性，并建立兩個(gè)比較引理。其次，運(yùn)用比較引理，通過構(gòu)造上下解證明解的支集具有瞬間收縮性質(zhì)的充要條件依賴于變化系數(shù)的性態(tài)。