極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運(yùn)用題型一

1、1 極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運(yùn)用題型 極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運(yùn)用題型(一) 【題型分析】 【題型分析】 題型一 題型一 圓上的點(diǎn)到直線距離的最值 圓上的點(diǎn)到直線距離的最值 【例 【例 1】 已知曲線 C1的參數(shù)方程為3 2 212x ty t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=2 cos （θ﹣ ） ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系． （1）求曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； （

2、2）求曲線 C2 上的動(dòng)點(diǎn) M 到直線 C1 的距離的最大值． 解： （ 解： （Ⅰ）即 ρ2=2 （ρcosθ+ρsinθ） ， ） ，∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，故 ，故 C2 的直角坐標(biāo)方程為 （ 的直角坐標(biāo)方程為 （x﹣1） 2+ （y﹣1） 2=2． （Ⅱ）∵曲線 曲線 C1 的參數(shù)方程為 的參數(shù)方程為 ，∴C1 的直角坐標(biāo)方程為 的直角坐標(biāo)方程為 ， 由 （ 由 （Ⅰ） 知曲線 ） 知曲線 C2是以 （ 是以 （1， 1）

3、 為圓心的圓， 且圓心到直線 ） 為圓心的圓， 且圓心到直線 C1的距離 的距離 ， ∴動(dòng)點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn) M 到曲線 到曲線 C1 的距離的最大值為 的距離的最大值為【變式實(shí)踐 【變式實(shí)踐 1】 1．已知曲線 C1： 2sin ? ? ? ，曲線 2 C ：3 2 545x ty t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（t 為參數(shù)） （I）化 C1 為直角坐標(biāo)方程，化 C2 為普通方程； （II）若 M 為曲線 C2 與 x 軸的交點(diǎn)，

4、N 為曲線 C1 上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值． 解： （ 解： （I）曲線 ）曲線 C1 的極坐標(biāo)化為 的極坐標(biāo)化為 ρ2=2ρsinθ，又 x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ 所以曲線 所以曲線 C1 的直角坐標(biāo)方程 的直角坐標(biāo)方程 x2+y2﹣2y=0，因?yàn)榍€ 因?yàn)榍€ C2 的參數(shù)方程是 的參數(shù)方程是 ， 消去參數(shù) 消去參數(shù) t 得曲線 得曲線 C2 的普通方程 的普通方程 4x+3y﹣8=0 （II）因?yàn)榍€

5、）因?yàn)榍€ C2 為直線 為直線，令 y=0，得 ，得 x=2，即 ，即 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0） 曲線 曲線 C1 為圓，其圓心坐標(biāo)為 為圓，其圓心坐標(biāo)為 C1（0，1） ，半徑 ） ，半徑 r=1，則 ，則∴ ，|MN|的最大值為 的最大值為3 ∵P(0,4)滿足方程 滿足方程 x－y＋4＝0，∴點(diǎn) P 在直線 在直線 l 上． 上． (2)因?yàn)辄c(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn) Q 是曲線 是曲線 C 上的點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn) 上的點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)

6、Q 的坐標(biāo)為 的坐標(biāo)為( 3cos α，sin α)，所以點(diǎn) ，所以點(diǎn) Q 到直線 到直線 l 的距 的距離 d＝| 3cos α－sin α＋4|2 ＝? ? ? ? 2cos? ? ? ? α＋π6 ＋42 (α∈R)則當(dāng) cos? ? ? ? α＋π6 ＝－ ＝－1 時(shí)， 時(shí)，d 取得最小值 取得最小值 2. 【變式實(shí)踐 【變式實(shí)踐 2】 1．在直角坐標(biāo)系中，曲線 C1 的參數(shù)方程為：2cos2 sinxy??? ? ? ? ?

7、? ?(α 為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸， 并取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位， 建立極坐標(biāo)系， 曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為：cos ? ? ? . (1)求曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； (2)若 P， Q 分別是曲線 C1 和 C2 上的任意一點(diǎn)， 求|PQ|的最小值． 解： 解：(1)∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x，即(x－12)2＋y2＝14. (2)設(shè) P(2cos α， 2sin α)，易知 易知 C2(12，

8、0)，∴|PC2|＝ （2cos α－12）2＋（ ＋（ 2sin α）2＝4cos2α－2cos α＋14＋2sin2α＝ 2cos2α－2cos α＋94， 當(dāng) cos α＝12時(shí)，|PC2|取得最小值 取得最小值，|PC2|min＝ 72 ，∴|PQ|min＝ 7－12 . 2．在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線 C1的極坐標(biāo)方程為 222 =1 sin ? ? ?，直線 l

9、 的極坐標(biāo)方程為 42 sin cos?? ???. (1)寫出曲線 C1 與直線 l 的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè) Q 為曲線 C1 上一動(dòng)點(diǎn)，求 Q 點(diǎn)到直線l 距離的最小值． 解： 解：(1)C1：x2＋2y2＝2，l： 2y＋x＝4. (2)設(shè) Q( 2cos θ，sin θ)，則點(diǎn) 則點(diǎn) Q 到直線 到直線 l 的距離 的距離 d＝| 2sin θ＋ 2cos θ－4|3 ＝|2sin（θ＋π4 ）－ ）－4|3 ≥ 23＝2

10、33 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) θ＋π4 ＝2kπ＋π2 (k∈Z)，即 θ＝2kπ＋π4 (k∈Z)時(shí)取等號． 時(shí)取等號． 3．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線 C 的參數(shù)方程為? ? ?x＝2cos α，y＝ 3sin α(α 是參數(shù))，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρcos? ? ? ? θ＋π6 ＝2 3. (1)求直線 l 的直角坐標(biāo)方程和曲線 C 的普通方程； (2)設(shè)點(diǎn) P 為曲線 C