第五章 大數(shù)定理與中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái)。也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象。,研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,下面我們先介紹大數(shù)定律,1.解決大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定的大數(shù)定理,表現(xiàn)正態(tài)分布在理論上、應(yīng)用上重要性的

2、 中心極限定理,字母使用頻率,生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率,大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,……,§5.1 大數(shù)定律,定理 1 （獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）,設(shè)X1,X2, …是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 EXi = ， DXi = ， i=1,2,…,則對(duì)任給 >0,,幾個(gè)常見的大數(shù)定律,定理表明：當(dāng)n足夠大時(shí)，,,故將來(lái)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，可用樣

3、本均值來(lái)估計(jì)總體均值。,定理2（貝努里大數(shù)定律）,設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的 次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε> 0，有：,或,貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小。,貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法。,定理 3（辛欽大數(shù)定律）,設(shè)隨機(jī)變量序列 X1, X2, … 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期 EXi=μ, i=1,2,…，

4、 則對(duì)任給ε >0 ，,大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn)。,大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用。,,中心極限定理的客觀背景,在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,§5.2 中心極限定理,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。,觀察

5、表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大。則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。,由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身，而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限。,可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,--------中心極限定理,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理。,我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形。,下

6、面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱林德伯格-列維（ Lindberg-Levy ）定理。,定理 4（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）,設(shè)X1,X2, …是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,…，則,當(dāng) n 很大時(shí)，可以求出近似分布:,定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有相同期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v之和,(一般分布很難求出),但可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。,,,中心極限

7、定理的應(yīng)用,例1 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。,解: 設(shè)第 i 只元件的壽命為Xi , i=1, 2, …, 16,由題給條件知，諸 Xi 獨(dú)立，,EXi =100, DXi =10000,16只元件的壽命的總和為,由中心極限定理：,1600,所以 P (Y >1920) = 1-P( Y?

8、 1920 ),例 已知在某十字路口，一周事故發(fā)生數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.4,（1）以 表示一年（52周）此十字路口事故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，試用中心極限定理求 的極限分布，并求,（2）求一年的事故發(fā)生數(shù)小于100的概率,解：,棣莫佛－拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布的正態(tài)近似）是上述定理的特殊情況。,定理 5 (棣莫佛－拉普拉斯定理）,設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有,定

9、理表明，當(dāng)n很大，服從二項(xiàng)分布隨機(jī)變量 可近似認(rèn)為服從正態(tài)分布：,例2 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3?的概率p＝1/3，若船舶遭受了90 000次波浪沖擊，問(wèn)其中有29 500～30 500次 縱搖角大于3?的概率是多少？,解： 在90 000次波浪沖擊中縱搖角度大于3?的次數(shù)記為X， 且有 X～b (90000，1/3)。所求概率為：,利用中心極限定理來(lái)求