幾類非自治周期和概周期動力系統(tǒng)的初值問題.pdf

1、本文研究了幾類非自治動力系統(tǒng)的初值問題。這些非自治動力系統(tǒng)包括連續(xù)的動力系統(tǒng)，離散的動力系統(tǒng)(差分方程)，脈沖動力系統(tǒng)，以及旨在將微分方程和差分方程統(tǒng)一起來的測度鏈上的微分方程。本文的主要研究內(nèi)容包括以下四個方面： 一、第三章，首先研究了測度鏈上微分方程的線性化以及拓撲等價函數(shù)的周期性問題。通過引入測度鏈上微分方程的拓撲等價概念，研究了非線性系統(tǒng)xΔ=A(t)x+f(t，x)與其線性部分xΔ=A(t)x之間的關(guān)系。結(jié)論是：如果線

2、性系統(tǒng)xΔ=A(t)x具有指數(shù)二分型，并且f(t，x)是(c，d)—擬有界且有小的Lipschitz常數(shù)，那么則存在一個等價函數(shù)H(t，x)將非線性系統(tǒng)xΔ=A(t)x+f(t，x)的(c，d)—擬有界解映為其線性系統(tǒng)xΔ= A(t)x的(c，d)—擬有界解。將Palmer[22]的微分方程線性化定理推廣到測度鏈上。這一章的主要目的是提出了研究測度鏈上微分方程拓撲等價問題的一種新的分析方法。這種方法縮短了原來的冗長證明，并且相對簡單明了

3、。正是由于使用了這種方法，所得到的結(jié)果與Hilger[14]的結(jié)果有較大的不同。而且，利用這種方法還能夠給出拓撲等價函數(shù)H(t，x)的具體表達式，而Hilger的方法是無法做到這一點。更重要的是，證明了當(dāng)整個系統(tǒng)是ω—周期時，拓撲等價函數(shù)也是ω—周期的，而Hilger沒有考慮到這個問題。 二、第四章，主要研究了五個不同連續(xù)生物模型的周期和概周期解問題。這一章的主要目的有如下兩點：其一是利用Mawhin的重合度理論研究了三個人口動

4、力系統(tǒng)的周期解存在性問題。作為研究非自治周期系統(tǒng)的一個有力工具，Mawhin的重合度理論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到生態(tài)動力系統(tǒng)的研究上。然而，對于算子Lx=λNx的未知解的先驗界估計上，采用不同的估計技巧將導(dǎo)致不同的理論結(jié)果。在實際應(yīng)用中，具體的生態(tài)系統(tǒng)(特別是由于時滯的影響)可能出現(xiàn)一些以往已研究的系統(tǒng)未曾出現(xiàn)的特殊情況，這時以往的先驗界估計技巧已經(jīng)無法被應(yīng)用到這種新系統(tǒng)上。因此，在這種情況下，就需要尋求新穎的估計技巧米得到算子Lx=λNx先

5、驗界。那么如何解決這些新的生態(tài)系統(tǒng)中帶來的新問題就成為本章的一個主要任務(wù)和創(chuàng)新點之一(參看第四章4.1和4.2節(jié))。即使是同一個系統(tǒng)，采用不同的估計技巧也會導(dǎo)致完全不同的結(jié)果。為此，在第四章的4.2節(jié)，重新考慮了著名的多種群競爭模型。與以往采用不等式｜x(t)｜≤｜x(t0)｜+∫ω0｜x(t)dt得到先驗界的估汁技巧不同，這種新技巧是利用矩陣的譜理論來得到先驗界的。從而，將可以得到與前人完全不同的結(jié)果，而這些新的估計技巧往往恰是文章的

6、創(chuàng)新之處。 其二是得到兩個高維的時滯(無窮時滯和連續(xù)時滯)概周期生態(tài)系統(tǒng)存在概周期解的一些充分條件。注意時滯的存在可能對系統(tǒng)的概周期振蕩有一定影響。 三、第五章，主要研究了一類脈沖動力系統(tǒng)的概周期解存在性問題。雖然連續(xù)動力系統(tǒng)的概周期解存在性理論已經(jīng)相當(dāng)完整，但是脈沖動力系統(tǒng)的概周期解的研究成果還相對比較少。目前，這方面的工作讀者可以參考專著[129-131]中的有關(guān)部分以及文獻[132-135]。因此，本章將著手研究一

7、類具有脈沖影響的調(diào)節(jié)抑制細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，得到了其存在概周期解的一些充分條件。本文的結(jié)果是全新的且有意義的。本章的方法主要是基于壓縮映像原理和Gronwall—Bellman不等式。由于至今為止關(guān)于概周期脈沖動力系統(tǒng)的研究結(jié)果還尚少，相信本文的研究能夠?qū)Ω胖芷诿}沖動力系統(tǒng)的研究有一定的啟發(fā)作用。 四、第六章，主要研究了全局擬一致漸進穩(wěn)定性和差分方程概周期解存在性之間的關(guān)系。利用概周期序列的有關(guān)概念，本章得到了差分方程x(n+1)

8、=f(n，x(n))存在概周期解的一些充分判據(jù)，這樣就提供了一種研究概周期差分方程的新方法。在第六章的6.4節(jié)中，作為應(yīng)用例子，把這種方法運用到離散的概周期人口模型其中Z={…，—2，-1，0，1，2，…}.這兩個應(yīng)用實例恰恰說明了此方法的優(yōu)越性和可行性。值得注意的是至今為止，沒有其他的相關(guān)文章研究概周期差分方程是基于全局擬一致漸進穩(wěn)定性與差分方程概周期解存在性關(guān)系之上的。因此，本章所使用的方法與以往的研究有較大的不同。采用這種方法研究