波傳播的單位分解有限元法.pdf

1、彈性波傳播問題的研究在許多科學和技術領域都有著廣泛的應用。例如：通過研究彈性波傳播中的衍射現象來解釋和研究結構中的動應力集中問題；通過研究真實或人工地震產生的波動以了解地球的內部結構；通過研究地下間斷的反射波可以大概地知道可能含油的地層；對材料和結構進行無損探傷；在土木工程領域對地基和地下建筑進行強度和結構分析；在醫(yī)學上對人體物理信息探測所使用的最普遍的B超和CT等等都與彈性波傳播理論有著密切的關系。 有限單元法是求解波傳播問題

2、的主要數值方法之一。雖然它有很多優(yōu)點，并成功地模擬了很多波傳播問題，但同樣存在許多不足之處。事實上，Zienkiewicz把短波問題的數值模擬視為有限元法尚未解決的兩個主要問題之一。例如，為使結果達到可接受的程度，一般說來低階的有限單元每個波長需要至少布置10個節(jié)點。由此導致計算時需要的內存較大，耗時較多，計算效率低下。并且，低階的有限單元有比較嚴重的頻散特性，高階的有限單元則可能產生虛假的波動。單位分解有限元法(PUFEM)是近十年來

3、發(fā)展起來的數值方法，它使得有限元插值空間中可以包含所求問題解的已知解析信息。因此它可以勝任許多傳統(tǒng)有限元方法不能處理得很好或者需要非常大計算量的問題。 該文首先回顧了PUFEM的理論基礎和現有工作，然后針對傳統(tǒng)有限元法模擬短波傳播問題的嚴重局限性，利用PUFEM插值空間中可包含所求問題解的己知信息的特點。 主要工作： 1.首次發(fā)展了一種用于瞬態(tài)彈性波傳播數值模擬的單位分解有限元模型，有限元空間由形成單位分解的標準

4、有限單元形函數乘以定義為局部子空間基函數的簡諧振蕩形函數構成。 2.針對PUFEM單元矩陣中的被積函數具有強烈的振蕩特性，應用直角坐標下的標準有限元形函數和單元內的波動方向知識提出了一種新的單元矩陣解析積分方案。 3.將PUFEM應用于反平面剪切波的傳播和散射問題中。對已知波傳播方向時單位分解有限元如何選擇局部子空間中的波數k給出了建議。 4.在Zienkiewicz和Shiomi的用于高速動力過程分析的飽和多孔

5、介質廣義Biot理論u-U公式的基礎上，推導和建立了基于PUFEM的飽和多孔介質動力問題的離散方程。 5.在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下，編制了用于二維波傳播數值模擬的PUFEM程序。數值例題顯示在相同精度下，PUFEM的計算效率明顯高于傳統(tǒng)的有限元法。解析積分在計算效率上也比高斯-勒讓德數值積分有大幅度的提高。 內容安排： 第一章首先對有限差分法、偽譜法、有限元法、無限元法、邊界元法、譜單元法

6、和格子法等各種用于波傳播的數值方法做了簡單的回顧，接下來著重介紹了以單位分解為基礎的PUFEM的發(fā)展歷程和最新進展，然后簡單介紹了飽和多孔介質中的波傳播研究現狀。最后概述了該文的研究工作。 第二章介紹PUFEM的理論和應用。通過對傳統(tǒng)有限元法逼近特性的討論引入了PUFEM的概念，介紹了該方法的數學基礎，闡述了該方法與其它數值方法的關系，較詳細地介紹了該方法在裂紋模擬和波傳播方面的應用。 第三章研究用于瞬態(tài)彈性波傳播數值模

7、擬的PUFEM模型。以往的PUFEM在波傳播方面的工作都是針對穩(wěn)態(tài)的標量波動問題。這章首先構造了用于瞬態(tài)波傳播的單位分解有限元形函數。此形函數的形式使得本模型可像普通有限元一樣簡單地處理本征邊界條件。此形函數的局部子空間中，不僅平面波方向角θ是可以隨意增減的，而且波數k也可以根據需要選取多個。接下來對彈性動力方程進行了PUFEM離散，給出了主要公式，說明了求解方程組的病態(tài)特性。最后給出了數值算例。 第四章研究PUFEM單元矩陣的

8、解析積分。PUFEM單元矩陣中的被積函數具有強烈的振蕩特性，而大部分現有的數值積分過程在計算效率和計算精度上都還不能令人滿意。這章應用直角坐標系下的標準有限元形函數和單元內的波動方向知識提出了一種新的單元矩陣解析積分方案，它對于平面三、四、六、八和九節(jié)點的直邊單位分解有限單元是完全解析的，而對于相應的平面曲邊單元則是半解析的。討論了標準有限元形函數的構成，證明了標準有限元形函數的存在性，給出了解析積分的具體實現辦法。最后的數值例題顯示所

9、提出的積分方案在計算效率上比高斯一勒讓德數值積分有大幅度的提高。 第五章研究PUFEM應用于反平面剪切波的傳播和散射，以及如何合理地選擇局部子空間中的波數k。對反平面剪切波方程進行了單位分解有限元離散，給出了形函數的形式。說明了若在局部簡諧形函數子空間中波動方向θ取為已知方向，而選取多個波數k，可以很大程度地減小有效剛度矩陣的條件數，甚至消除它的病態(tài)現象。通過一維問題對己知波傳播方向時PUFEM如何選擇局部子空間中的波數k進行了

10、討論。指出采用多個波數的PUFEM不僅可以模擬特定波長的簡諧波傳播，而且也可以很好地模擬由不同波長的簡諧波迭加而成的復雜波。最后給出了數值例題。 第六章研究PUFEM模擬飽和多孔介質中的瞬態(tài)波傳播問題。首先給出了飽和多孔介質的基本概念。接下來回顧了Zienkiewicz和Shiomi的用于高速動力過程分析的飽和多孔介質廣義Biot理論u-U公式。然后在該公式的基礎上，推導和建立了基于PUFEM的飽和多孔介質動力問題的離散方程，說

11、明了方程中的相關參數。最后分別在不排水和排水條件下采用PUFEM對飽和多孔介質中彈性波的傳播進行了模擬。 第七章給出了二維波傳播數值模擬的PUFEM程序說明。該文的程序是在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下編制的。在較少變動原有程序結構的情況下，利用現有的程序，通過修改和添加相應的模塊實現了PUFEM對二維波傳播的數值模擬。這章給出了主要子程序說明、程序流程圖和數據格式及說明。 第八章總結全文，并展望進一步的