兩類積分方程Λ有界變差解的存在唯一性.pdf

1、積分方程是近代數(shù)學(xué)的一個重要分支.積分方程理論發(fā)展始終與數(shù)學(xué)物理問題的研究緊密相聯(lián)，它在工程、力學(xué)等方面有著極其廣泛的應(yīng)用.在現(xiàn)實世界中，許多積分方程的解往往描述實際生活中的物理現(xiàn)象，而其解經(jīng)常為Λ有界變差函數(shù).因此研究積分方程的Λ有界變差解是積分方程理論的一個重要方向.考慮到在自然界和許多技術(shù)科學(xué)中，存在大量分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的事實.由此，本文主要研究非線性積分方程、帶分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性積分方程的ΛBV解的存在唯一性.具體安排如下:
　

2、　第一章主要介紹積分方程ΛBV解、帶分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)積分方程解的研究概況，以及Λ有界變差函數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一些概念的歷史背景.闡述Λ有界變差函數(shù)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，及其深刻物理背景和理論內(nèi)涵.
　　第二章從具體積分方程的ΛBV解在物理領(lǐng)域中的實際意義出發(fā)，得到一類推廣的非線性積分方程.在ΛBV(I)上，由所定義的算子G為壓縮映射，利用Banach壓縮映射原理證明該類積分方程ΛBV解的存在性.同時，定義映射P，其滿足利普希

3、茨條件，F(xiàn)'為高階疊加算子，因此，由Lovelady不動點原理得到其解的唯一性定理的證明.主要結(jié)果如下:
　　定理2.2.1在方程(1.3.1)中，若滿足以下條件:
　　(1)g:I→R為ΛBV函數(shù);
　　(2)q(s)為有界函數(shù)，|q(s)|≤K，K為常數(shù);
　　(3)ρ(s)為有界函數(shù)，|ρ(s)|≤L,L為常數(shù);
　　(4)F:I×I→R，且對幾乎處處s∈I，有VΛ(K(·，s):I)≤M(s).其中

4、函數(shù)M:I→R+、F(·，s)勒貝格可積;
　　(5)記F'(x)(t)=f(t，x(t))，f(0，0)=0.且f(t，x(t))存在關(guān)于x(t)的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(e)f/(e)x(t)|t=0=0;
　　則存在λ，ξ，η＞0，使得w2＜λ，g∈BΛ(0，η)時，方程(2.1)存在唯一ΛBV解x(t)∈BΛ(0，ξ).
　　第三章在前一章的基礎(chǔ)上，通過引入Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念，得到一類帶分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性積分方

5、程.在Λ有界變差函數(shù)的前提下，定義連續(xù)的函數(shù)空間E及A算子，利用Schauder不動點定理證明了該類積分方程的ΛBV解的存在性.同時，由H(x)(t)，f(t，x(t))滿足Lipschitz條件得到其解的唯一性定理的證明.主要結(jié)果如下:
　　定理3.2.1如果F:I×I→R滿足定理2.2.1中的條件(4)，ρ(s)滿足條件(3)，q(s)滿足條件(2)，f(t,x(t))有界，則方程(3.1)存在連續(xù)ΛBV解x(t)∈C[0，h

6、]∩ L1[0，h]，且Dqx(t)∈C(I)∩L1(I).
　　定理3.2.2在定理3.2.1的條件下，若H(x)(t)，f(t，x(t))滿足Lipschitz條件:|H(x)(t)-H((x))(t)|≤L'|x(t)-(x)(t)|，|f(t,x(t))-f(t,(x)(t))|≤L"|x(t)-(x)(t)|.則方程(3.1)存在唯一連續(xù)ΛBV解x(t)∈C[0，h]∩L1[0，h],且Dqx(t)∈C(I)∩ L1(I