動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性及嵌入問題的研究.pdf

1、本文研究拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性理論。對(duì)于零熵系統(tǒng)，研究它們的拓?fù)鋸?fù)雜度、序列熵和熵維數(shù);對(duì)于正熵系統(tǒng)，研究其中的混沌現(xiàn)象;對(duì)于無窮嫡系統(tǒng)，研究平均維數(shù)及其相關(guān)的嵌入問題。
　　本文共分五個(gè)章節(jié)。第一章是準(zhǔn)備工作，包含了拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)和遍歷論中的一些基本概念和主要結(jié)果，以及在后續(xù)章節(jié)中需要用到的工具和定理。
　　在第二章中，研究二維環(huán)面上一類特殊的斜積系統(tǒng)，它們都是一維環(huán)面上的某個(gè)無理旋轉(zhuǎn)的擴(kuò)充。計(jì)算了這類系統(tǒng)的拓?fù)鋸?fù)雜度，并利用

2、新的方法證明其極小性，而且給出了這類系統(tǒng)為二階系統(tǒng)的一個(gè)等價(jià)刻畫。進(jìn)一步，構(gòu)造了一個(gè)極小distal系統(tǒng)，它具有線性的拓?fù)鋸?fù)雜度，但卻不是二步冪零系統(tǒng)，從而否定地回答了Host、Kra和Maass提出的是否每個(gè)具有線性拓?fù)鋸?fù)雜度的極小distal系統(tǒng)都是二步冪零系統(tǒng)這一問題。
　　在第三章中，研究零熵系統(tǒng)的序列熵和熵維數(shù)，建立了動(dòng)力系統(tǒng)與其誘導(dǎo)系統(tǒng)在這方面的關(guān)系。具體來說，證明了對(duì)于任意事先給定的正整數(shù)序列，一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)沿著該

3、序列的序列熵是零當(dāng)且只當(dāng)它的誘導(dǎo)系統(tǒng)沿著該序列的序列熵也是零。進(jìn)一步地，作為這一結(jié)果的應(yīng)用，證明了一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的上熵維數(shù)與它的誘導(dǎo)系統(tǒng)的上熵維數(shù)相等。類似地，還得到了與上述這兩個(gè)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的測(cè)度版本。
　　在第四章中，考慮正熵系統(tǒng)沿著序列意義下的多重平均Li-Yorke混沌問題。證明了對(duì)于一類性質(zhì)良好的非負(fù)整數(shù)序列來說，如果一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的熵為正，那么它蘊(yùn)含沿著這種序列意義下的多重平均Li-Yorke混沌。特別地，正熵蘊(yùn)含沿